Sejam A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1+x^{2} \leq y \leq 2+x^{2}, x \geq 0\right. e \left.y \geq x+x^{2}\right\} e B=(u, v) \in \mathbb{R}^{2} : 1 \leq v \leq 2, v \geq u e u \geq 0\}.
(a) Verifique que B=\varphi(A), onde (u, v)=\varphi(x, y), com u=x e v=y-x^{2}.
(b) Verifique que a área de A é igual a área de B.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede duas verificações:
Verificar que B=\varphi(A) (ou seja, a imagem de A por \varphi é exatamente B).
Verificar que a área de A é igual à área de B.
Passo 2
Mostro primeiro que \varphi(A)\subseteq B. Pegue um ponto (x,y)\in A. A partir das desigualdades que definem A:
De 1+x^{2}\le y\le 2+x^{2} obtemos, subtraindo x^{2}, que
1 \le y-x^{2} \le 2.
Mas y-x^{2}=v, logo
1 \le v \le 2.
De x\ge 0 obtemos u=x\ge 0.
De y\ge x+x^{2} obtemos, subtraindo x^{2},
y-x^{2}\ge x,
isto é v\ge u.
Portanto qualquer (u,v)=\varphi(x,y) satisfaz 1\le v\le 2, v\ge u e u\ge 0; isto é, (u,v)\in B. Concluímos \varphi(A)\subseteq B.
Passo 3
Agora mostro que B\subseteq \varphi(A). Para isso construo a inversa explícita: dado (u,v)\in B, defina
x:=u,\qquad y:=v+x^{2}=v+u^{2}.
Vamos verificar que (x,y)\in A:
Como 1\le v\le 2, temos 1\le v \le 2 e somando x^{2}=u^{2} obtemos
1+x^{2}\le v+x^{2}\le 2+x^{2},
ou seja 1+x^{2}\le y\le 2+x^{2}.
Como u\ge 0 temos x=u\ge 0.
Como v\ge u temos v\ge x, então
y=v+x^{2}\ge x+x^{2},
ou seja y\ge x+x^{2}.
Assim (x,y)\in A e \varphi(x,y)=(u,v). Logo todo (u,v)\in B tem um pré‑imagem em A, ou seja B\subseteq\varphi(A).
Juntando com o Passo 2 obtemos B=\varphi(A). Também vimos explicitamente que \varphi é bijetora com inversa \varphi^{-1}(u,v)=(u,\;v+u^{2}).
Passo 4
Agora vou explicar por que áreas são preservadas por \varphi. A ideia é a seguinte (passo a passo didático):
Quando aplicamos uma transformação suave \varphi:(x,y)\mapsto(u,v), a área local é multiplicada por um fator igual ao valor absoluto do determinante da matriz jacobiana de \varphi. A matriz jacobiana é a matriz das derivadas parciais:
Como o determinante é 1 (positivo e constante), a transformação preserva áreas localmente e globalmente: pequenos elementos de área não são ampliados nem reduzidos.
Em termos de integrais, a fórmula de mudança de variáveis diz (quando \varphi é difeomorfismo)