Sejam A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1+x^{2} \leq y \leq 2+x^{2}, x \geq 0\right. e \left.y \geq x+x^{2}\right\} e B=(u, v) \in \mathbb{R}^{2} : 1 \leq v \leq 2, v \geq u e u \geq 0\}.
(a) Verifique que B=\varphi(A), onde (u, v)=\varphi(x, y), com u=x e v=y-x^{2}.
(b) Verifique que a área de A é igual a área de B.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede duas verificações:
  • O conjunto A é
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;1+x^{2}\le y\le 2+x^{2},\; x\ge 0,\; y\ge x+x^{2}\}.
Listei todas as desigualdades explícitas que definem A.
  • O conjunto B é
B=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:\;1\le v\le 2,\; v\ge u,\; u\ge 0\}.
  • A transformação \varphi é dada por
\varphi(x,y)=(u,v),\qquad u=x,\; v=y-x^{2}.
Perguntas do exercício:
  1. Verificar que B=\varphi(A) (ou seja, a imagem de A por \varphi é exatamente B).
  2. Verificar que a área de A é igual à área de B.

Passo 2

Mostro primeiro que \varphi(A)\subseteq B. Pegue um ponto (x,y)\in A. A partir das desigualdades que definem A:
  • De 1+x^{2}\le y\le 2+x^{2} obtemos, subtraindo x^{2}, que
1 \le y-x^{2} \le 2.
Mas y-x^{2}=v, logo
1 \le v \le 2.
  • De x\ge 0 obtemos u=x\ge 0.
  • De y\ge x+x^{2} obtemos, subtraindo x^{2},
y-x^{2}\ge x,
isto é v\ge u.
Portanto qualquer (u,v)=\varphi(x,y) satisfaz 1\le v\le 2, v\ge u e u\ge 0; isto é, (u,v)\in B. Concluímos \varphi(A)\subseteq B.

Passo 3

Agora mostro que B\subseteq \varphi(A). Para isso construo a inversa explícita: dado (u,v)\in B, defina
x:=u,\qquad y:=v+x^{2}=v+u^{2}.
Vamos verificar que (x,y)\in A:
  • Como 1\le v\le 2, temos 1\le v \le 2 e somando x^{2}=u^{2} obtemos
1+x^{2}\le v+x^{2}\le 2+x^{2},
ou seja 1+x^{2}\le y\le 2+x^{2}.
  • Como u\ge 0 temos x=u\ge 0.
  • Como v\ge u temos v\ge x, então
y=v+x^{2}\ge x+x^{2},
ou seja y\ge x+x^{2}.
Assim (x,y)\in A e \varphi(x,y)=(u,v). Logo todo (u,v)\in B tem um pré‑imagem em A, ou seja B\subseteq\varphi(A).
Juntando com o Passo 2 obtemos B=\varphi(A). Também vimos explicitamente que \varphi é bijetora com inversa \varphi^{-1}(u,v)=(u,\;v+u^{2}).

Passo 4

Agora vou explicar por que áreas são preservadas por \varphi. A ideia é a seguinte (passo a passo didático):
  • Quando aplicamos uma transformação suave \varphi:(x,y)\mapsto(u,v), a área local é multiplicada por um fator igual ao valor absoluto do determinante da matriz jacobiana de \varphi. A matriz jacobiana é a matriz das derivadas parciais:
D\varphi(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\[4pt] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz mede como um pequeno retângulo em (x,y) é distorcido (área multiplicada) pela transformação.
  • Para nossa \varphi temos u=x e v=y-x^{2}. Então as derivadas parciais são:
\frac{\partial u}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-2x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=1.
Escrevendo a matriz:
D\varphi(x,y)= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] -2x & 1 \end{pmatrix}.
  • O determinante é
\det D\varphi(x,y)=1\cdot 1 - 0\cdot(-2x)=1.
Como o determinante é 1 (positivo e constante), a transformação preserva áreas localmente e globalmente: pequenos elementos de área não são ampliados nem reduzidos.
  • Em termos de integrais, a fórmula de mudança de variáveis diz (quando \varphi é difeomorfismo)
\iint_{A} dx\,dy = \iint_{\varphi(A)} \bigl|\det D(\varphi^{-1})(u,v)\bigr|\, du\,dv.
Mas como \det D\varphi(x,y)=1, a inversa tem determinante 1 também, então o fator é 1 e
\iint_{A} dx\,dy = \iint_{\varphi(A)} du\,dv.
Portanto as áreas de A e \varphi(A)=B são iguais.]

Passo 5

Para dar um número final, calculo explicitamente a área de B. Pelo que já escrevemos,
B=\{(u,v): 1\le v\le 2,\;0\le u\le v\}.
É conveniente integrar primeiro em u (de 0 até v) e depois em v (de 1 até 2). Assim
\text{Área}(B)=\int_{v=1}^{2}\left(\int_{u=0}^{v} du\right) dv = \int_{1}^{2} v\, dv.Á
Compute a integral:
\int_{1}^{2} v\, dv = \left.\tfrac{v^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Pelo Passo 4, \text{Área}(A)=\text{Área}(B)ÁÁ, logo \text{Área}(A)=\tfrac{3}{2}Á.

Resposta

(a) B=\varphi(A).\n(b) \text{Área}(A)=\text{Área}(B)=\tfrac{3}{2}ÁÁ.

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