As coordenadas x e y variam independentemente no intervalo [0,1].
Para cada par (x,y) nesse quadrado, z varia de 1 até e^{x+y}.
A pergunta é: qual é o volume desse conjunto em \mathbb{R}^3?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): o volume de uma região D\subset\mathbb{R}^3 que é “tipo caixa” em uma ordem de integração é dado pela integral tripla
\text{Volume}=\iiint_{D} 1\,dV,
onde dV é o elemento de volume (no nosso caso dV=dz\,dy\,dx). Isso significa que somamos, para cada ponto no plano (x,y) da base, a altura em z dada por z_{\text{max}}-z_{\text{min}}. É a versão calcada de “área da base vezes altura”, só que a altura varia com (x,y).
Passo 3
Montando a integral tripla diretamente a partir dos limites do enunciado (ordem z, depois y, depois x):
Como checagem rápida: \displaystyle\iint_{[0,1]^2} e^{x+y}\,dA = \left(\int_0^1 e^{x}dx\right)\left(\int_0^1 e^{y}dy\right)=(e-1)^2, e o volume é isso menos a área da base (1), confirmando o mesmo resultado.