Calcule o volume do conjunto dado
\left\{\(x, y, z \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq e^{x+y}\right}\).

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;1\le z\le e^{x+y}\right\}.
Informações dadas:
  • As coordenadas x e y variam independentemente no intervalo [0,1].
  • Para cada par (x,y) nesse quadrado, z varia de 1 até e^{x+y}.
  • A pergunta é: qual é o volume desse conjunto em \mathbb{R}^3?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): o volume de uma região D\subset\mathbb{R}^3 que é “tipo caixa” em uma ordem de integração é dado pela integral tripla
\text{Volume}=\iiint_{D} 1\,dV,
onde dV é o elemento de volume (no nosso caso dV=dz\,dy\,dx). Isso significa que somamos, para cada ponto no plano (x,y) da base, a altura em z dada por z_{\text{max}}-z_{\text{min}}. É a versão calcada de “área da base vezes altura”, só que a altura varia com (x,y).

Passo 3

Montando a integral tripla diretamente a partir dos limites do enunciado (ordem z, depois y, depois x):
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=1}^{e^{x+y}} dz\,dy\,dx.
Aqui cada limite veio do enunciado: 0\le x\le1, 0\le y\le1, 1\le z\le e^{x+y}.

Passo 4

Calculamos a integral interna em z. Isso é fácil porque estamos integrando 1 em relação a z:
\int_{z=1}^{e^{x+y}} dz = e^{x+y}-1.
Interpretação: para cada (x,y) a “altura” em z é e^{x+y}-1.

Passo 5

Agora a integral fica dupla:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\bigl(e^{x+y}-1\bigr)\,dy\,dx.
Vamos integrar primeiro em y. Use a propriedade e^{x+y}=e^{x}e^{y} para simplificar:
\int_{y=0}^{1}\bigl(e^{x+y}-1\bigr)dy = \int_{y=0}^{1} e^{x}e^{y}\,dy - \int_{y=0}^{1}1\,dy.
Fatorando e^{x} (não depende de y):
= e^{x}\int_{y=0}^{1}e^{y}\,dy - \bigl[ y \bigr]_{0}^{1} = e^{x}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) - 1 = e^{x}(e-1)-1.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{1}\bigl(e^{x}(e-1)-1\bigr)\,dx = (e-1)\int_{x=0}^{1}e^{x}\,dx - \int_{x=0}^{1}1\,dx.
Calculando as integrais básicas:
\int_{x=0}^{1}e^{x}\,dx = e^{x}\Big|_{0}^{1}=e-1, \qquad \int_{x=0}^{1}1\,dx = 1.
Substituindo:
\text{Volume} = (e-1)(e-1) - 1 = (e-1)^{2}-1.

Passo 7

Simplificando a expressão final:
(e-1)^{2}-1 = e^{2}-2e+1-1 = e^{2}-2e = e(e-2).
Como checagem rápida: \displaystyle\iint_{[0,1]^2} e^{x+y}\,dA = \left(\int_0^1 e^{x}dx\right)\left(\int_0^1 e^{y}dy\right)=(e-1)^2, e o volume é isso menos a área da base ( 1), confirmando o mesmo resultado.

Resposta

e^{2}-2e

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