[2,0 pts] Seja B o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq x e 0 \leq z \leq x+y. Calcule
\iiint_{B} z d x d y d z .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} z \, dx\,dy\,dz
onde B é o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades
0 \leq x \leq 1,\qquad x^{2} \leq y \leq x,\qquad 0 \leq z \leq x+y.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo de x é [0,1].
  • Para cada x, y varia de x^{2} até x.
  • Para cada (x,y), z varia de 0 até x+y.
    A tarefa é avaliar a integral do campo escalar z sobre esse sólido B.

Passo 2

Escolhemos integrar primeiro em z porque o limite de z está dado diretamente em função de x e y 0 a x+y), o que torna a integral em z imediata. Em geral, quando os limites são aninhados (um limite depende das outras variáveis), convém começar pela variável cujo limite é mais simples — aqui é z.
Escrevendo a integral na ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{B} z \, dx\,dy\,dz = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x}\int_{z=0}^{x+y} z \, dz\,dy\,dx.
Agora calculamos a integral interna em z. Lembrando a regra básica de antiderivação para potências: para n\neq -1,
\int z^{n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C.
No caso, n=1, então \int z\,dz=\dfrac{z^{2}}{2}. Avaliamos entre z=0 e z=x+y:
\int_{0}^{x+y} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{x+y}=\frac{(x+y)^{2}}{2}.

Passo 3

Substituindo o resultado da integral em z na integral dupla restante, obtemos
\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x} \frac{(x+y)^{2}}{2}\,dy\,dx.
Para prosseguir, expandimos o quadrado e usamos a linearidade da integral. Primeiro escrevemos
\frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+2xy+y^{2}\bigr).
Vamos integrar termo a termo em y.

Passo 4

Calcule a antiderivada em y de cada termo. Usando que \int y^{m}\,dy=\dfrac{y^{m+1}}{m+1} e que x é tratado como constante quando integramos em y, temos:
\int \frac{1}{2}\bigl(x^{2}+2xy+y^{2}\bigr)\,dy = \frac{1}{2}\left( x^{2}y + x y^{2} + \frac{y^{3}}{3}\right)+C,
ou seja,
\frac{1}{2}\Bigl(x^{2}y + x y^{2} + \frac{y^{3}}{3}\Bigr).
Agora avaliamos essa expressão entre y=x^{2} e y=x.

Passo 5

Avaliação em y=x:
\frac{1}{2}\Bigl(x^{2}\cdot x + x\cdot x^{2} + \frac{x^{3}}{3}\Bigr) = \frac{1}{2}\Bigl( x^{3}+x^{3}+\frac{x^{3}}{3}\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{3}x^{3} = \frac{7}{6}x^{3}.
Avaliação em y=x^{2}:
\frac{1}{2}\Bigl(x^{2}\cdot x^{2} + x\cdot x^{4} + \frac{x^{6}}{3}\Bigr) = \frac{1}{2}\Bigl( x^{4}+x^{5}+\frac{x^{6}}{3}\Bigr) = \frac{1}{2}x^{4}+\frac{1}{2}x^{5}+\frac{1}{6}x^{6}.
Subtraindo (valor em y=x menos valor em y=x^{2}), obtemos a função de x que restará para integrar:
f(x)=\frac{7}{6}x^{3}-\left(\frac{1}{2}x^{4}+\frac{1}{2}x^{5}+\frac{1}{6}x^{6}\right).
Portanto a integral se reduz a
\int_{0}^{1} \left(\frac{7}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}\right)\,dx.

Passo 6

Agora integramos termo a termo em x, usando a regra do poder: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
Calculemos cada contribuição de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{7}{6}x^{3}\,dx=\frac{7}{6}\cdot\frac{1}{4}=\frac{7}{24},
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{4}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{10},
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{5}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12},
\int_{0}^{1}\frac{1}{6}x^{6}\,dx=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{42}.
Lembre-se de que as últimas três parcelas são subtraídas do total, portanto a integral total é
\frac{7}{24}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}-\frac{1}{42}.

Passo 7

Para somar essas frações, colocamos em comum denominador. Um denominador comum conveniente é 840 (múltiplo de 24,10,12,42).
Convertendo:
\frac{7}{24}=\frac{245}{840},\quad \frac{1}{10}=\frac{84}{840},\quad \frac{1}{12}=\frac{70}{840},\quad \frac{1}{42}=\frac{20}{840}.
Subtraindo:
\frac{245}{840}-\frac{84}{840}-\frac{70}{840}-\frac{20}{840} =\frac{245-84-70-20}{840}=\frac{71}{840}.
O numerador 71 é primo, então a fração já está na forma irredutível.

Resposta

\displaystyle \frac{71}{840}

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