[2,0 pts] Seja B o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq x e 0 \leq z \leq x+y. Calcule
\iiint_{B} z d x d y d z .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} z \, dx\,dy\,dz
onde B é o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades
0 \leq x \leq 1,\qquad x^{2} \leq y \leq x,\qquad 0 \leq z \leq x+y.
Informações relevantes dadas:
O intervalo de x é [0,1].
Para cada x, y varia de x^{2} até x.
Para cada (x,y), z varia de 0 até x+y.
A tarefa é avaliar a integral do campo escalar z sobre esse sólido B.
Passo 2
Escolhemos integrar primeiro em z porque o limite de z está dado diretamente em função de x e y (é 0 a x+y), o que torna a integral em z imediata. Em geral, quando os limites são aninhados (um limite depende das outras variáveis), convém começar pela variável cujo limite é mais simples — aqui é z.
Escrevendo a integral na ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{B} z \, dx\,dy\,dz = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x}\int_{z=0}^{x+y} z \, dz\,dy\,dx.
Agora calculamos a integral interna em z. Lembrando a regra básica de antiderivação para potências: para n\neq -1,
\int z^{n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C.
No caso, n=1, então \int z\,dz=\dfrac{z^{2}}{2}. Avaliamos entre z=0 e z=x+y:
Calcule a antiderivada em y de cada termo. Usando que \int y^{m}\,dy=\dfrac{y^{m+1}}{m+1} e que x é tratado como constante quando integramos em y, temos:
\int \frac{1}{2}\bigl(x^{2}+2xy+y^{2}\bigr)\,dy = \frac{1}{2}\left( x^{2}y + x y^{2} + \frac{y^{3}}{3}\right)+C,
ou seja,
\frac{1}{2}\Bigl(x^{2}y + x y^{2} + \frac{y^{3}}{3}\Bigr).
Agora avaliamos essa expressão entre y=x^{2} e y=x.