Sejam
e
subespaços de
.
(a) Encontre uma base e a dimensão de
.
(b) Encontre uma base e a dimensão de
.
(c)
? Justifique.
(d)
? Justifique.
(a) Encontre uma base e a dimensão de
(b) Encontre uma base e a dimensão de
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define
e
e pede:
a) base e dimensão de ,
b) base e dimensão de ,
c) verificar se ,
d) verificar se .
Para isso vamos usar parametrização de subespaços, a fórmula e o critério de soma direta (interseção trivial).
e pede:
a) base e dimensão de
b) base e dimensão de
c) verificar se
d) verificar se
Para isso vamos usar parametrização de subespaços, a fórmula
Passo 2
Para achar
impomos simultaneamente
Substituindo
na segunda equação vem
, ou seja
.
Logo todo vetor de é da forma
Logo todo vetor de
o que mostra que
portanto uma base é
e
.
Passo 3
Primeiro, sabemos que
e
. Pela fórmula de dimensão da soma:
Como o subespaço tem dimensão 3 em
, já fica claro que
.
Para expor uma base explícita de , basta pegar vetores geradores de cada um e eliminar dependências. Por exemplo, de
Para expor uma base explícita de
podemos escolher os três vetores independentes
que formam uma base de
e confirmam
.
Passo 4
Já vimos que
. Assim
Passo 5
Para ser soma direta precisamos
. Mas encontramos
, logo a interseção não é trivial. Portanto
Resposta
(a) Base de
:
. Dimensão
.
(b) Base de :
. Dimensão
.
(c) Sim. pois
.
(d) Não. A soma não é direta porque .
(b) Base de
(c) Sim.
(d) Não. A soma não é direta porque