Sejam W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-z=0\right\} e W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y\right\} subespaços de \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre uma base e a dimensão de W_{1} \cap W_{2}.
(b) Encontre uma base e a dimensão de W_{1}+W_{2}.
(c) \mathbb{R}^{3}=W_{1}+W_{2} ? Justifique.
(d) \mathbb{R}^{3}=W_{1} \oplus W_{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y-z=0\} e \displaystyle W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=y\}
e pede:
a) base e dimensão de W_{1}\cap W_{2},
b) base e dimensão de W_{1}+W_{2},
c) verificar se W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3},
d) verificar se \mathbb{R}^{3}=W_{1}\oplus W_{2}.
Para isso vamos usar parametrização de subespaços, a fórmula \dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V) e o critério de soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Para achar W_{1}\cap W_{2} impomos simultaneamente
x=y, \qquad x+y-z=0.
Substituindo y=x na segunda equação vem 2x-z=0, ou seja z=2x.
Logo todo vetor de W_{1}\cap W_{2} é da forma
(x,x,2x)=x\,(1,1,2),
o que mostra que
W_{1}\cap W_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,2)\},
portanto uma base é \{(1,1,2)\} e \displaystyle \dim\bigl(W_{1}\cap W_{2}\bigr)=1.

Passo 3

Primeiro, sabemos que \dim W_{1}=2 e \dim W_{2}=2. Pela fórmula de dimensão da soma:
\dim(W_{1}+W_{2}) =\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}) =2+2-1=3.
Como o subespaço tem dimensão 3 em \mathbb{R}^{3}, já fica claro que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.
Para expor uma base explícita de W_{1}+W_{2}, basta pegar vetores geradores de cada um e eliminar dependências. Por exemplo, de
W_{1}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}, \quad W_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}
podemos escolher os três vetores independentes
(1,0,1),\;(0,1,1),\;(0,0,1),
que formam uma base de W_{1}+W_{2} e confirmam \dim(W_{1}+W_{2})=3.

Passo 4

Já vimos que \dim(W_{1}+W_{2})=3=\dim\mathbb{R}^{3}. Assim
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Para ser soma direta precisamos W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Mas encontramos \dim(W_{1}\cap W_{2})=1\neq0, logo a interseção não é trivial. Portanto
\mathbb{R}^{3}\neq W_{1}\oplus W_{2}.

Resposta

(a) Base de W_{1}\cap W_{2}: \{(1,1,2)\}. Dimensão =1.
(b) Base de W_{1}+W_{2}: \{(1,0,1),\,(0,1,1),\,(0,0,1)\}. Dimensão =3.
(c) Sim. W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3} pois \dim(W_{1}+W_{2})=3.
(d) Não. A soma não é direta porque W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\}.

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