Sejam S_{1}=\left\{a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0} \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{3}-a_{2}+a_{1}=0\right\} e S_{2}=\left[t^{3}+2 t^{2}+t, t^{2}+t+1, t^{3}\right] dois subespaços de P_{3}(\mathbb{R}).
a) Determine a base e a dimensão de S_{1} \cap S_{2}.
b) Seja p(t)=3 t^{3}+4 t^{2}+t-2, verifique se p(t) \in S_{1} \cap S_{2}.
c) Determine um subespaço W de P_{3}(\mathbb{R}) tal que S_{1} \oplus W=P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de P_{3}(\mathbb{R}):
\displaystyle S_{1}=\{\,a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\mid a_{3}-a_{2}+a_{1}=0\} e
\displaystyle S_{2}=\langle\,t^{3}+2t^{2}+t,\;t^{2}+t+1,\;t^{3}\rangle.
Vamos usar teoria de dimensão, teste de independência linear, o Teorema da Dimensão para intersecção e a definição de soma direta de subespaços.

Passo 2

Determinar \dim S_{1} e \dim S_{2}.
1. Em S_{1} há a restrição linear a_{3}-a_{2}+a_{1}=0 sobre os quatro coeficientes, logo
\dim S_{1}=4-1=3.
2. Em S_{2} temos os vetores
v_{1}=t^{3}+2t^{2}+t,\quad v_{2}=t^{2}+t+1,\quad v_{3}=t^{3}.
Para ver se são independentes, faço a combinação
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0
e comparo coeficientes:
t^{3}: c_{1}+c_{3}=0, t^{2}: 2c_{1}+c_{2}=0, t: c_{1}+c_{2}=0, constante: c_{2}=0.
Dessa última vem c_{2}=0, daí c_{1}=0 e c_{3}=0. Logo são independentes e
\dim S_{2}=3.

Passo 3

Calcular \dim(S_{1}\cap S_{2}) usando
\dim(S_{1}+S_{2})=\dim S_{1}+\dim S_{2}-\dim(S_{1}\cap S_{2}).
Como S_{1}+S_{2}\subseteq P_{3}(\mathbb{R}) e \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, temos
\dim S_{1}+\dim S_{2}-\dim(S_{1}\cap S_{2})\le4 \;\Longrightarrow\; 6-\dim(S_{1}\cap S_{2})\le4 \;\Longrightarrow\; \dim(S_{1}\cap S_{2})\ge2.
Não pode ser 3 porque t^{3}\in S_{2} não satisfaz a_{3}-a_{2}+a_{1}=1\neq0, então
\dim(S_{1}\cap S_{2})=2.

Passo 4

Achar uma base de S_{1}\cap S_{2}.
Em S_{2}, testamos quais geradores satisfazem a condição de S_{1}:
  • Para v_{1}=t^{3}+2t^{2}+t vale 1-2+1=0.
  • Para v_{2}=t^{2}+t+1 vale 0-1+1=0.
  • Para v_{3}=t^{3} vale 1-0+0=1\neq0.
    Logo v_{1},v_{2}\in S_{1} e são independentes, então
\{\,t^{3}+2t^{2}+t,\;t^{2}+t+1\}
é base de S_{1}\cap S_{2}.

Passo 5

Verificar p(t)=3t^{3}+4t^{2}+t-2\in S_{1}\cap S_{2}.
1. Em S_{1} cheque a_{3}-a_{2}+a_{1}=3-4+1=0. Logo p\in S_{1}.
2. Em S_{2} procure c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}(t^{3}+2t^{2}+t)+c_{2}(t^{2}+t+1)+c_{3}t^{3} =3t^{3}+4t^{2}+t-2.
Comparando coeficientes:
constante c_{2}=-2,
t: c_{1}+c_{2}=1 \implies c_{1}=3,
t^{2}: 2c_{1}+c_{2}=4 \checkmark,
t^{3}: c_{1}+c_{3}=3 \implies c_{3}=0.
Como existe solução, p\in S_{2}. Logo p\in S_{1}\cap S_{2}.

Passo 6

Determinar W tal que S_{1}\oplus W=P_{3}(\mathbb{R}).
Como \dim S_{1}=3 e \dim P_{3}=4, basta escolher W de dimensão 1 gerado por qualquer polinômio fora de S_{1}. Por exemplo, t^{3}\notin S_{1}, então
W=\langle\,t^{3}\rangle.
Claramente S_{1}\cap W=\{0\} e S_{1}+W=P_{3}(\mathbb{R}), logo é soma direta.

Resposta

a) Uma base de S_{1}\cap S_{2} é
\{\,t^{3}+2t^{2}+t,\;t^{2}+t+1\},
e \dim(S_{1}\cap S_{2})=2.
b) Sim, p(t)=3t^{3}+4t^{2}+t-2\in S_{1}\cap S_{2}.
c) Por exemplo,
W=\langle\,t^{3}\rangle
satisfaz S_{1}\oplus W=P_{3}(\mathbb{R}).

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