Sejam
e
dois subespaços de
.
a) Determine a base e a dimensão de
.
b) Seja
, verifique se
.
c) Determine um subespaço
de
tal que
.
a) Determine a base e a dimensão de
b) Seja
c) Determine um subespaço
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Vamos usar teoria de dimensão, teste de independência linear, o Teorema da Dimensão para intersecção e a definição de soma direta de subespaços.
Vamos usar teoria de dimensão, teste de independência linear, o Teorema da Dimensão para intersecção e a definição de soma direta de subespaços.
Passo 2
Determinar
e
.
. Em
há a restrição linear
sobre os quatro coeficientes, logo
Para ver se são independentes, faço a combinação
e comparo coeficientes:
:
,
:
, t:
, constante:
.
Dessa última vem , daí
e
. Logo são independentes e
Dessa última vem
Passo 3
Calcular
usando
Como
e
, temos
Não pode ser
porque
não satisfaz
, então
Passo 4
Achar uma base de
.
Em , testamos quais geradores satisfazem a condição de
:
Em
- Para
vale . - Para
vale . - Para
vale .
Logoe são independentes, então
é base de
.
Passo 5
Verificar
.
. Em
cheque
. Logo
.
. Em
procure
tais que
Comparando coeficientes:
constante ,
t: ,
:
,
:
.
Como existe solução, . Logo
.
constante
t:
Como existe solução,
Passo 6
Determinar
tal que
.
Como e
, basta escolher
de dimensão
gerado por qualquer polinômio fora de
. Por exemplo,
, então
Como
Claramente
e
, logo é soma direta.
Resposta
a) Uma base de
é
e
.
b) Sim, .
c) Por exemplo,
b) Sim,
c) Por exemplo,
satisfaz
.