Sejam U=\left\{p(t) \in P_{2}(\mathbb{R}) \mid p^{\prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right\} e V=\left\{p(t) \in P_{2}(\mathbb{R}) \mid p(0)=p(1)=0\right\} subespaços vetoriais de P_{2}(\mathbb{R}). Encontre uma base para U, V, U \cap V e U+V.

Passo 1

O enunciado pede bases para os subespaços
U=\{p(t)\in P_2(\mathbb R)\mid p'(t)=0\}
e
V=\{p(t)\in P_2(\mathbb R)\mid p(0)=p(1)=0\},
além de bases para U\cap V e U+V. O conteúdo é teoria de subespaços e bases em espaços de polinômios.

Passo 2

Para encontrar U, note que p'(t)=0 para todo t implica que p é constante. Logo
U=\{p(t)=a\mid a\in\mathbb R\}.
Uma base evidente é
\{\,1\},
pois qualquer constante escreve-se como múltiplo de 1.

Passo 3

Para V, impomos p(0)=0 e p(1)=0. Então t e t-1 são raízes de p, o que força
p(t)=b\,t(t-1),\quad b\in\mathbb R.
Logo
V=\{\,b\,t(t-1)\mid b\in\mathbb R\},
e uma base é
\{\,t(t-1)\}.

Passo 4

O encontro U\cap V são os polinômios constantes que se anulam em 0 e 1. A única constante que satisfaz isso é 0. Assim
U\cap V=\{0\},
o subespaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.

Passo 5

O somatório U+V tem dimensão
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)=1+1-0=2.
Além disso todo elemento de U+V escreve-se como
a + b\,t(t-1),\quad a,b\in\mathbb R.
Logo uma base é
\{\,1,\;t(t-1)\}.

Resposta

Base de U: \{1\}
Base de V: \{t(t-1)\}
Base de U\cap V: \emptyset
Base de U+V: \{1,\;t(t-1)\}

Exercícios relacionados