Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Encontre uma base para
e
.
Passo 1
O enunciado pede bases para os subespaços
e
além de bases para
e
. O conteúdo é teoria de subespaços e bases em espaços de polinômios.
Passo 2
Para encontrar
, note que
para todo
implica que
é constante. Logo
Uma base evidente é
pois qualquer constante escreve-se como múltiplo de
.
Passo 3
Para
, impomos
e
. Então
e
são raízes de
, o que força
Logo
e uma base é
Passo 4
O encontro
são os polinômios constantes que se anulam em
e
. A única constante que satisfaz isso é
. Assim
o subespaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.
Passo 5
O somatório
tem dimensão
Além disso todo elemento de
escreve-se como
Logo uma base é
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de :
Base de :
Base de
Base de
Base de