Seja
um conjunto de vetores em um espaço vetorial
satisfazendo a seguinte propriedade: todo vetor de
pode ser escrito, de forma única, como combinação linear dos vetores de
. Prove que
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é tal que todo
pode ser escrito de forma única como combinação linear de vetores de
. Queremos mostrar que
é uma base de
. Por definição, para isso precisamos provar duas coisas:
-
gera (spanning). -
é linearmente independente.
Passo 2
Para ver que
gera
, basta usar diretamente a hipótese de existência: “todo vetor
pode ser escrito como combinação linear de vetores de
”. Isso significa exatamente que
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é linearmente independente. Suponha, por absurdo, que exista uma relação linear não trivial entre vetores de
, isto é, vetores
e escalares
, nem todos nulos, tais que
Mas há também a combinação trivial, que escreve o mesmo vetor
com todos os coeficientes iguais a zero:
Isso dá duas formas diferentes de escrever
como combinação linear de vetores de
, contrariando a unicidade garantida no enunciado. Logo, não pode existir relação não trivial, e todos os
devem ser zero. Portanto
é linearmente independente.
Resposta
Como mostramos que
gera
e que
é linearmente independente, concluímos que
é uma base de
.