Seja \mathcal{B} um conjunto de vetores em um espaço vetorial V satisfazendo a seguinte propriedade: todo vetor de V pode ser escrito, de forma única, como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}. Prove que \mathcal{B} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{B}\subset V é tal que todo v\in V pode ser escrito de forma única como combinação linear de vetores de \mathcal{B}. Queremos mostrar que \mathcal{B} é uma base de V. Por definição, para isso precisamos provar duas coisas:
  1. \mathcal{B} gera V (spanning).
  2. \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 2

Para ver que \mathcal{B} gera V, basta usar diretamente a hipótese de existência: “todo vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear de vetores de \mathcal{B}”. Isso significa exatamente que
\mathrm{Span}(\mathcal{B}) = V.

Passo 3

Agora vamos mostrar que \mathcal{B} é linearmente independente. Suponha, por absurdo, que exista uma relação linear não trivial entre vetores de \mathcal{B}, isto é, vetores b_1,b_2,\dots,b_n\in\mathcal{B} e escalares a_1,\dots,a_n, nem todos nulos, tais que
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = 0.
Mas há também a combinação trivial, que escreve o mesmo vetor 0 com todos os coeficientes iguais a zero:
0\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + \cdots + 0\cdot b_n = 0.
Isso dá duas formas diferentes de escrever 0 como combinação linear de vetores de \mathcal{B}, contrariando a unicidade garantida no enunciado. Logo, não pode existir relação não trivial, e todos os a_i devem ser zero. Portanto \mathcal{B} é linearmente independente.

Resposta

Como mostramos que \mathcal{B} gera V e que \mathcal{B} é linearmente independente, concluímos que \mathcal{B} é uma base de V.

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