Resolve-se por exemplo assim: da segunda equação \alpha=b-\beta. Substituindo em \alpha+\gamma=a dá \gamma=a-b+\beta. Então na terceira:
2\beta-(a-b+\beta)=c \;\Longrightarrow\; \beta + b - a = c \;\Longrightarrow\; \beta = a - b + c.
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\alpha= b-\beta=2b - a - c, \quad \gamma=a-b+\beta=2a -2b + c.
Para quaisquer a,b,c há solução única (\alpha,\beta,\gamma).
Passo 5
Como qualquer a+bx+cx^2 admite combinação linear única em \{p_1,p_2,p_3\}, esses três polinômios geram \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e são linearly independent.
Resposta
Sim. Os polinômios 1+x, x+2x^2 e 1-x^2 geram \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).