Ex. 3.18 Verifique se \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) é gerado por 1+x, x+2 x^{2} e 1-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o espaço de todos os polinômios de grau <=2, isto é \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), é gerado pelos polinômios
p_1(x)=1+x,\quad p_2(x)=x+2x^2,\quad p_3(x)=1-x^2.
Como \dim\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})=3 e temos três vetores, basta mostrar que qualquer polinômio genérico
p(x)=a+bx+cx^2
pode ser escrito como combinação linear única de p_1,p_2,p_3.

Passo 2

Suponha
p(x)=\alpha\,p_1(x)+\beta\,p_2(x)+\gamma\,p_3(x).
Isso é
\alpha(1+x)+\beta(x+2x^2)+\gamma(1-x^2)=a+bx+cx^2.

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e agrupando em potências de x, obtemos
(\alpha+\gamma)+(\alpha+\beta)x+(2\beta-\gamma)x^2 \;=\;a+bx+cx^2.
Comparando coeficientes, vem o sistema
\begin{cases} \alpha + \gamma = a,\\\ \alpha + \beta = b,\\\\ 2\beta - \gamma = c. \end{cases}

Passo 4

Resolve-se por exemplo assim: da segunda equação \alpha=b-\beta. Substituindo em \alpha+\gamma=a \gamma=a-b+\beta. Então na terceira:
2\beta-(a-b+\beta)=c \;\Longrightarrow\; \beta + b - a = c \;\Longrightarrow\; \beta = a - b + c.
Logo
\alpha= b-\beta=2b - a - c, \quad \gamma=a-b+\beta=2a -2b + c.
Para quaisquer a,b,c há solução única (\alpha,\beta,\gamma).

Passo 5

Como qualquer a+bx+cx^2 admite combinação linear única em \{p_1,p_2,p_3\}, esses três polinômios geram \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e são linearly independent.

Resposta

Sim. Os polinômios 1+x, x+2x^2 e 1-x^2 geram \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).

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