Sejam
e
subespaços do espaço vetorial real
e sejam
e
.
(a) Determine
e
.
(b) Dos subconjuntos
e
de
, qual(is) é(são) subespaço(s) do espaço vetorial
?
(a) Determine
(b) Dos subconjuntos
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e
Define-se também
,
e
. As perguntas são:
- Determinar explicitamente
, e . - Entre os subconjuntos
de , quais são subespaços vetoriais de ?
Listei as informações relevantes: as equações que descrevem
e
, e as definições de união, interseção e soma de subespaços. A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Vamos entender bem
e
escrevendo-os como espaços gerados (spans) e encontrando bases simples.
Para
é claro:
Ou seja,
é a reta que passa pela origem na direção
.
Para
temos a condição
. Podemos parametrizar: escolha parâmetros
tais que
Assim
Logo
uma dimensão
(plano através da origem). Aqui mostrei como obter uma base: qualquer vetor em
é combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Calcular
. Um vetor em
tem forma
. Para estar em
também, deve satisfazer
, isto é
. Daí
. Portanto
Observação didática: sempre que uma reta e um plano passam pela origem, a interseção pode ser só o vetor zero; aqui ficou explícito por resolver a equação.
Passo 4
Explicar por que
é subespaço: o conjunto
contém o vetor zero, é fechado por soma (zero+zero=zero) e por múltiplo escalar (c·0=0), logo é subespaço trivial de
.
Passo 5
Calcular
. Por definição,
Usarei duas abordagens para ficar bem claro.
Abordagem por dimensão e interseção: sabemos
,
e já achamos
(porque a interseção é só o zero). Pela fórmula da dimensão para soma de subespaços,
Um subespaço de
de dimensão
é
inteiro. Logo
Abordagem construtiva (útil para prova em prova): tome um vetor arbitrário
. Defina
. Então
tem soma das coordenadas igual a
portanto
. Assim
é soma de um elemento de
e um elemento de
, o que mostra que qualquer vetor de
pertence a
. Portanto
. Essa construção também explica explicitamente como decompor um vetor em soma de um elemento de
e outro de
.
Passo 6
Determinar se
é subespaço. Regra prática: a união de dois subespaços só é subespaço se um está contido no outro. Aqui
(por exemplo
porque
) e
(por exemplo
mas não pertence a
já que as coordenadas não são todas iguais). Portanto a união não é subespaço. Vou dar um contraexemplo explícito de falta de fechamento por soma, que é a maneira mais direta de demonstrar que não é subespaço:
Escolha
e
Ambos estão em
. Contudo
Verificamos que
porque as coordenadas não são todas iguais, e
porque
. Assim
, mostrando que
não é fechado por soma e portanto
não é subespaço.
Passo 7
Resumo das propriedades de subespaço para cada conjunto:
-
é subespaço (subespaço trivial). -
é subespaço (é o próprio espaço). -
não é subespaço (não é fechado por soma, contraexemplo acima).
Resposta
A =
B =
C =
B =
C =
Subespaços:
e
são subespaços de
;
não é subespaço.