Sejam L=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=0\right\} e M=\{(x, x, x): x \in \mathbb{R}\} subespaços do espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} e sejam A=L \cup M, B=L \cap M e C=L+M.
(a) Determine A, B e C.
(b) Dos subconjuntos A, B e C de \mathbb{R}^{3}, qual(is) é(são) subespaço(s) do espaço vetorial \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{3}:
L=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+y+z=0\}
e
M=\{(x,x,x): x\in\mathbb{R}\}.
Define-se também A=L\cup M, B=L\cap M e C=L+M. As perguntas são:
  1. Determinar explicitamente A, B e C.
  2. Entre os subconjuntos A,B,C de \mathbb{R}^{3}, quais são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}?
Listei as informações relevantes: as equações que descrevem L e M, e as definições de união, interseção e soma de subespaços. A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Vamos entender bem L e M escrevendo-os como espaços gerados (spans) e encontrando bases simples.
Para M é claro:
M=\{(x,x,x):x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Ou seja, M é a reta que passa pela origem na direção (1,1,1).
Para L temos a condição x+y+z=0. Podemos parametrizar: escolha parâmetros s,t tais que
x=s,\quad y=t,\quad z=-(s+t).
Assim
(x,y,z)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1).
Logo
L=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-1)\},
uma dimensão 2 (plano através da origem). Aqui mostrei como obter uma base: qualquer vetor em L é combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Calcular B=L\cap M. Um vetor em M tem forma (t,t,t). Para estar em L também, deve satisfazer t+t+t=0, isto é 3t=0. Daí t=0. Portanto
B=L\cap M=\{(0,0,0)\}.
Observação didática: sempre que uma reta e um plano passam pela origem, a interseção pode ser só o vetor zero; aqui ficou explícito por resolver a equação.

Passo 4

Explicar por que B=\{(0,0,0)\} é subespaço: o conjunto \{(0,0,0)\} contém o vetor zero, é fechado por soma (zero+zero=zero) e por múltiplo escalar (c·0=0), logo é subespaço trivial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Calcular C=L+M. Por definição,
L+M=\{u+v: u\in L,\\ v\in M\}.
Usarei duas abordagens para ficar bem claro.
Abordagem por dimensão e interseção: sabemos \dim L=2, \dim M=1 e já achamos \dim(L\cap M)=0 (porque a interseção é só o zero). Pela fórmula da dimensão para soma de subespaços,
\dim(L+M)=\dim L+\dim M-\dim(L\cap M)=2+1-0=3.
Um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 3 é \mathbb{R}^{3} inteiro. Logo
C=L+M=\mathbb{R}^{3}.
Abordagem construtiva (útil para prova em prova): tome um vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}. Defina t=\dfrac{a+b+c}{3}. Então (a,b,c)-t(1,1,1) tem soma das coordenadas igual a
(a+b+c)-3t=(a+b+c)-3\cdot\frac{a+b+c}{3}=0,
portanto (a,b,c)-t(1,1,1)\in L. Assim (a,b,c)=\big((a,b,c)-t(1,1,1)\big)+t(1,1,1) é soma de um elemento de L e um elemento de M, o que mostra que qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pertence a L+M. Portanto L+M=\mathbb{R}^{3}. Essa construção também explica explicitamente como decompor um vetor em soma de um elemento de L e outro de M.

Passo 6

Determinar se A=L\cup M é subespaço. Regra prática: a união de dois subespaços só é subespaço se um está contido no outro. Aqui M\not\subset L (por exemplo (1,1,1)\notin L porque 1+1+1\neq0) e L\not\subset M (por exemplo (1,-1,0)\in L mas não pertence a M já que as coordenadas não são todas iguais). Portanto a união não é subespaço. Vou dar um contraexemplo explícito de falta de fechamento por soma, que é a maneira mais direta de demonstrar que não é subespaço:
Escolha
u=(1,1,1)\in M\subset A
e
v=(1,-1,0)\in L\subset A.
Ambos estão em A. Contudo
u+v=(2,0,1).
Verificamos que (2,0,1)\notin M porque as coordenadas não são todas iguais, e (2,0,1)\notin L porque 2+0+1=3\neq0. Assim u+v\notin A, mostrando que A não é fechado por soma e portanto A não é subespaço.

Passo 7

Resumo das propriedades de subespaço para cada conjunto:
  • B=\{(0,0,0)\} é subespaço (subespaço trivial).
  • C=\mathbb{R}^{3} é subespaço (é o próprio espaço).
  • A=L\cup M não é subespaço (não é fechado por soma, contraexemplo acima).

Resposta

A = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+y+z=0\\ \text{ou}\\ x=y=z\}
B = \{(0,0,0)\}
C = \mathbb{R}^{3}
Subespaços: B e C são subespaços de \mathbb{R}^{3}; A não é subespaço.

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