No espaço vetorial real
:
(a) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) Caracterize o subespaço
do espaço vetorial
gerado pelo conjunto
, sendo
e
.
(c) Caracterize o subespaço
e indique a sua dimensão.
(d) Verifique que o conjunto
constitui uma base de
, sendo
um vetor de
não pertencente a
.
(a) Mostre que
(b) Caracterize o subespaço
(c) Caracterize o subespaço
(d) Verifique que o conjunto
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e pede quatro coisas distintas:
(a) Mostrar que é subespaço de
.
(b) Caracterizar o subespaço gerado por
, com
e
. Ou seja, descrever
.
(c) Caracterizar e indicar sua dimensão.
(d) Verificar que é base de
, onde
é um vetor qualquer de
que não pertence a
.
(a) Mostrar que
(b) Caracterizar o subespaço
(c) Caracterizar
(d) Verificar que
Informações relevantes fornecidas: as equações/definições de
,
e
, e a condição sobre
(não pertence a
). A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
O que é preciso para mostrar que um subconjunto
é subespaço? Vou explicar bem devagar:
- Primeiro, um subespaço deve conter o vetor zero. O vetor zero em
é . - Segundo, deve ser fechado sob soma: se
então . - Terceiro, deve ser fechado sob multiplicação escalar: se
e então .
Agora aplico isso a
.
Verifico o vetor zero: substituo
na equação de
:
logo
.
Fechamento por soma: suponha
e
. Isso significa
Somando as duas igualdades obtemos
ou seja,
satisfaz a equação e pertence a
.
Fechamento por multiplicação escalar: seja
e
, então
logo
.
Como as três propriedades valem,
é um subespaço de
.
Passo 3
Agora caracterizo
. Primeiro explico o que é span:
é o conjunto de todas as combinações lineares
com
.
Calculo a combinação linear geral:
Portanto qualquer vetor em
tem a forma
. Se chamo
e
, vejo imediatamente a descrição geométrica:
Isto é um plano que passa pela origem (uma reta deslocada não, é um plano linear). A base natural que aparece é
. Vou verificar que esses dois vetores são linearmente independentes: se
então olhando a primeira coordenada obtemos
e olhando a segunda coordenada obtemos
. Logo são independentes. Como há dois vetores independentes em
, a dimensão de
é
.
Resumo didático:
é o plano definido por
, tem dimensão
e
é uma base de
.
Passo 4
Agora quero
. Preciso de vetores que satisfaçam simultaneamente a equação de
e a relação de
. Então tomo um vetor genérico em
da forma
com
e imponho a equação de
:
Substituo
nessa equação:
Faço as contas passo a passo:
Logo
. Com
e lembrando
, obtenho
. Portanto todo vetor em
tem a forma
. Isso é exatamente
Observação:
, então
. A dimensão é
porque é uma reta através da origem.
Passo 5
Finalmente mostro que
é uma base de
quando
. Primeiro lembro o que é uma base: um conjunto é base se é linearmente independente e gera o espaço (ou, equivalente em
, se tem 3 vetores linearmente independentes).
Já sabemos que
é uma base de
(dimensão
). Agora pego
. Vou provar independência linear de
:
Suponha que existem escalares
tais que
Se
então
e, como
são independentes, isso implica
. Se
então posso isolar
:
o que mostra que
seria combinação linear de
, ou seja
. Mas isso contradiz a hipótese
. Assim
não pode ser diferente de zero; logo
e daí
. Concluímos que os únicos escalares que dão combinação nula são todos zero, logo os três vetores são linearmente independentes.
Em
, três vetores linearmente independentes formam uma base (pois dimensão do espaço é
). Portanto
é uma base de
.
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b)
. Uma base é
e
.
(c)
.
.
(d) Se
então
é uma base de
(os três vetores são linearmente independentes e, sendo 3 vetores em
, geram o espaço).