No espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} :
(a) Mostre que F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-3 y+3 z=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
(b) Caracterize o subespaço G do espaço vetorial \mathbb{R}^{3} gerado pelo conjunto \left\{u_{1}, u_{2}\right\}, sendo u_{1}=(1,0,2) e u_{2}=(0,1,1).
(c) Caracterize o subespaço F \cap G e indique a sua dimensão.
(d) Verifique que o conjunto \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} constitui uma base de \mathbb{R}^{3}, sendo u_{3} um vetor de \mathbb{R}^{3} não pertencente a G.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} e pede quatro coisas distintas:
(a) Mostrar que F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x-3y+3z=0\} é subespaço de \mathbb{R}^{3}.
(b) Caracterizar o subespaço G gerado por \{u_{1},u_{2}\}, com u_{1}=(1,0,2) e u_{2}=(0,1,1). Ou seja, descrever G=\text{span}\{u_{1},u_{2}\}.
(c) Caracterizar F\cap G e indicar sua dimensão.
(d) Verificar que \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}, onde u_{3} é um vetor qualquer de \mathbb{R}^{3} que não pertence a G.
Informações relevantes fornecidas: as equações/definições de F, u_{1} e u_{2}, e a condição sobre u_{3} (não pertence a G). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

O que é preciso para mostrar que um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço? Vou explicar bem devagar:
  • Primeiro, um subespaço deve conter o vetor zero. O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0).
  • Segundo, deve ser fechado sob soma: se v,w\in S então v+w\in S.
  • Terceiro, deve ser fechado sob multiplicação escalar: se v\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda v\in S.
Agora aplico isso a F.
Verifico o vetor zero: substituo (0,0,0) na equação de F:
0-3\cdot0+3\cdot0=0,
logo (0,0,0)\in F.
Fechamento por soma: suponha v=(x_1,y_1,z_1)\in F e w=(x_2,y_2,z_2)\in F. Isso significa
x_1-3y_1+3z_1=0\quad\text{e}\quad x_2-3y_2+3z_2=0.
Somando as duas igualdades obtemos
(x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+3(z_1+z_2)=0,
ou seja, v+w satisfaz a equação e pertence a F.
Fechamento por multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e v=(x,y,z)\in F, então
\lambda x -3(\lambda y)+3(\lambda z)=\lambda(x-3y+3z)=\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda v\in F.
Como as três propriedades valem, F é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Agora caracterizo G=\text{span}\{u_{1},u_{2}\}. Primeiro explico o que é span: \text{span}\{u_{1},u_{2}\} é o conjunto de todas as combinações lineares \alpha u_{1}+\beta u_{2} com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Calculo a combinação linear geral:
\alpha u_{1}+\beta u_{2}=\alpha(1,0,2)+\beta(0,1,1)=(\alpha,\beta,2\alpha+\beta).
Portanto qualquer vetor em G tem a forma (x,y,z)=(\alpha,\beta,2\alpha+\beta). Se chamo x=\alpha e y=\beta, vejo imediatamente a descrição geométrica:
G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: z=2x+y\}.
Isto é um plano que passa pela origem (uma reta deslocada não, é um plano linear). A base natural que aparece é \{u_{1},u_{2}\}. Vou verificar que esses dois vetores são linearmente independentes: se \alpha u_{1}+\beta u_{2}=(0,0,0) então olhando a primeira coordenada obtemos \alpha=0 e olhando a segunda coordenada obtemos \beta=0. Logo são independentes. Como há dois vetores independentes em G, a dimensão de G é 2.
Resumo didático: G é o plano definido por z=2x+y, tem dimensão 2 e \{u_{1},u_{2}\} é uma base de G.

Passo 4

Agora quero F\cap G. Preciso de vetores que satisfaçam simultaneamente a equação de F e a relação de G. Então tomo um vetor genérico em G da forma (x,y,z) com z=2x+y e imponho a equação de F:
x-3y+3z=0.
Substituo z=2x+y nessa equação:
x-3y+3(2x+y)=0.
Faço as contas passo a passo:
x-3y+6x+3y=0 \quad\Rightarrow\quad 7x+0\cdot y=0 \quad\Rightarrow\quad 7x=0.
Logo x=0. Com x=0 e lembrando z=2x+y, obtenho z=y. Portanto todo vetor em F\cap G tem a forma (0,y,y). Isso é exatamente
F\cap G=\{(0,y,y):y\in\mathbb{R}\}=\text{span}\{(0,1,1)\}.
Observação: (0,1,1)=u_{2}, então F\cap G=\text{span}\{u_{2}\}. A dimensão é 1 porque é uma reta através da origem.

Passo 5

Finalmente mostro que \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3} quando u_{3}\notin G. Primeiro lembro o que é uma base: um conjunto é base se é linearmente independente e gera o espaço (ou, equivalente em \mathbb{R}^{3}, se tem 3 vetores linearmente independentes).
Já sabemos que \{u_{1},u_{2}\} é uma base de G (dimensão 2). Agora pego u_{3}\notin G. Vou provar independência linear de \{u_{1},u_{2},u_{3}\}:
Suponha que existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=(0,0,0).
Se \gamma=0 então \alpha u_{1}+\beta u_{2}=0 e, como u_{1},u_{2} são independentes, isso implica \alpha=\beta=0. Se \gamma\neq 0 então posso isolar u_{3}:
u_{3}=\left(-\frac{\alpha}{\gamma}\right)u_{1}+\left(-\frac{\beta}{\gamma}\right)u_{2},
o que mostra que u_{3} seria combinação linear de u_{1},u_{2}, ou seja u_{3}\in G. Mas isso contradiz a hipótese u_{3}\notin G. Assim \gamma não pode ser diferente de zero; logo \gamma=0 e daí \alpha=\beta=0. Concluímos que os únicos escalares que dão combinação nula são todos zero, logo os três vetores são linearmente independentes.
Em \mathbb{R}^{3}, três vetores linearmente independentes formam uma base (pois dimensão do espaço é 3). Portanto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

(a) F é subespaço de \mathbb{R}^{3}.
(b) G=\text{span}\{u_{1},u_{2}\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:z=2x+y\}. Uma base é \{u_{1},u_{2}\} e \dim G=2.
(c) F\cap G=\text{span}\{(0,1,1)\}=\text{span}\{u_{2}\}. \dim(F\cap G)=1.
(d) Se u_{3}\notin G então \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3} (os três vetores são linearmente independentes e, sendo 3 vetores em \mathbb{R}^{3}, geram o espaço).

Exercícios relacionados