Sejam
para todo
e
para todo
. Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Precisamos mostrar que
Precisamos mostrar que
isto é, (i)
e (ii)
.
Passo 2
Verificamos primeiro que
e
são subespaços. Por exemplo, se
e
, então para
temos
logo
e
. O mesmo argumento vale para
.
Passo 3
Agora mostramos que qualquer matriz
Então claramente
tudo que tinha
ficou zero, logo
, e em
tudo que tinha
ficou zero, logo
. Assim
.
Passo 4
Falta mostrar
. Se
, então para todo
temos simultaneamente
quando
(por
) e
quando
(por
).
Assim para toda posição, ou seja
é a matriz zero.
Assim
Resposta
Portanto