Sejam W_{1}=\left\{A=\left(a_{i, j}\right) \in M_{n \times m}(\mathbb{R}) \mid a_{i, j}=0\right. para todo \left.i>j\right\} e W_{2}=\left\{A=\left(a_{i, j}\right) \in\right. M_{n \times m}(\mathbb{R}) \mid a_{i, j}=0 para todo \left.i \leq j\right\}. Mostrar que M_{n \times m}(\mathbb{R})=W_{1} \oplus W_{2}.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \,M_{n\times m}(\mathbb{R}): \,W_{1}=\{A=(a_{i,j})\mid a_{i,j}=0\text{ sempre que }i>j\} e \,W_{2}=\{A=(a_{i,j})\mid a_{i,j}=0\text{ sempre que }i\le j\}.
Precisamos mostrar que
M_{n\times m}(\mathbb{R}) \;=\; W_{1}\oplus W_{2},
isto é, (i) W_{1}+W_{2}=M_{n\times m}(\mathbb{R}) e (ii) W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.

Passo 2

Verificamos primeiro que W_{1} e W_{2} são subespaços. Por exemplo, se A,B\in W_{1} e \lambda\in\mathbb{R}, então para i>j temos
(A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}=0+0=0, \quad (\lambda A)_{i,j}=\lambda\,a_{i,j}=\lambda\cdot 0=0,
logo A+B\in W_{1} e \lambda A\in W_{1}. O mesmo argumento vale para W_{2}.

Passo 3

Agora mostramos que qualquer matriz A=(a_{i,j})\in M_{n\times m}(\mathbb{R})\) se decompõe em \(A=U+L\) com \(U\in W_{1}\) e \(L\in W_{2}\). Definimos \[U_{i,j} = \begin{cases} a_{i,j}, & i\le j,\\\\ 0, & i>j, \end{cases} \quad L_{i,j} = \begin{cases} 0, & i\le j,\\\ a_{i,j}, & i>j. \end{cases}
Então claramente U+L=A\]. Além disso, em \(U tudo que tinha i>j ficou zero, logo U\in W_{1}, e em L tudo que tinha i\le j ficou zero, logo L\in W_{2}. Assim W_{1}+W_{2}=M_{n\times m}(\mathbb{R}).

Passo 4

Falta mostrar W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Se X=(x_{i,j})\in W_{1}\cap W_{2}, então para todo (i,j) temos simultaneamente x_{i,j}=0 quando i>j (por X\in W_{1}) e x_{i,j}=0 quando i\le j (por X\in W_{2}).
Assim x_{i,j}=0 para toda posição, ou seja X é a matriz zero.

Resposta

Portanto
M_{n\times m}(\mathbb{R}) \;=\; W_{1}\oplus W_{2}.

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