Sejam
o conjunto das matrizes simétricas (
) de ordem
e
o conjunto das matrizes anti-simétricas (
), também de ordem
. Verificar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo
pode ser escrito de modo único como soma de uma matriz simétrica
e uma anti-simétrica
, e que a interseção
. O conteúdo é decomposição de espaços vetoriais em soma direta.
Passo 2
Dado
, definimos
Teoria aplicada:
- Para verificar
, note que
- Para verificar
, note que
Além disso, somando-os recuperamos
Isso mostra que
.
Passo 3
Agora precisamos ver que a interseção é trivial. Seja
. Então
implicam
Logo
.
Resposta
Como
e
, segue que