Sejam W_{1} o conjunto das matrizes simétricas ( A^{t}=A ) de ordem n e W_{2} o conjunto das matrizes anti-simétricas ( A^{t}=-A ), também de ordem n. Verificar que
M_{n}(\mathbb{R})=W_{1} \oplus W_{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo A\in M_{n}(\mathbb{R}) pode ser escrito de modo único como soma de uma matriz simétrica W_{1} e uma anti-simétrica W_{2}, e que a interseção W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. O conteúdo é decomposição de espaços vetoriais em soma direta.

Passo 2

Dado A\in M_{n}(\mathbb{R}), definimos
S = \frac{A + A^{t}}{2}, \qquad K = \frac{A - A^{t}}{2}.
Teoria aplicada:
  1. Para verificar S\in W_{1}, note que
S^{t} = \Bigl(\tfrac{A + A^{t}}{2}\Bigr)^{t} = \frac{A^{t} + (A^{t})^{t}}{2} = \frac{A^{t} + A}{2} = S.
  1. Para verificar K\in W_{2}, note que
K^{t} = \Bigl(\tfrac{A - A^{t}}{2}\Bigr)^{t} = \frac{A^{t} - (A^{t})^{t}}{2} = \frac{A^{t} - A}{2} = -\,\frac{A - A^{t}}{2} = -K.
Além disso, somando-os recuperamos
S + K = \frac{A + A^{t}}{2} + \frac{A - A^{t}}{2} = A.
Isso mostra que W_{1} + W_{2} = M_{n}(\mathbb{R}).

Passo 3

Agora precisamos ver que a interseção é trivial. Seja X\in W_{1}\cap W_{2}. Então
X^{t} = X \quad\text{e}\quad X^{t} = -X
implicam
X = -X \;\Longrightarrow\; 2X = 0 \;\Longrightarrow\; X = 0.
Logo W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.

Resposta

Como W_{1}+W_{2}=M_{n}(\mathbb{R}) e W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, segue que
M_{n}(\mathbb{R}) = W_{1} \oplus W_{2}.

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