Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação (direta ou por limite) com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1,
2n+1 < 2n+2 = 2(n+1),
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\frac{1}{2n+1} > \frac{1}{2(n+1)} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{n+1}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}1/(n+1) difere da harmônica apenas no índice inicial, ela diverge. Pelo teste de comparação direta, se uma série maior diverge, a menor também diverge.

Passo 3

Alternativamente, pelo teste de limite-comparação, considere
a_n = \frac{1}{2n+1},\quad b_n = \frac{1}{n}.
Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/(2n+1)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} = \tfrac12\neq 0.
Como \sum b_n (a harmônica) diverge, a série \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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