Sejam \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) sequências limitadas de \mathbb{R}. Mostre que:
\liminf \left(x_{n}+y_{n}\right) \geq \liminf x_{n}+\liminf y_{n};

Passo 1

O enunciado dá duas sequências limitadas em \mathbb{R}, \bigl(x_n\bigr) e \bigl(y_n\bigr), e pede para mostrar a desigualdade
\liminf\bigl(x_n + y_n\bigr)\;\ge\;\liminf x_n \;+\;\liminf y_n.
O conteúdo principal é a definição de \liminf em termos de supremum de ínfimos de caudas e uma propriedade elementar de ínfimos e supremos.

Passo 2

Recordando a definição de \liminf de uma sequência real \bigl(a_n\bigr):
\liminf a_n \;=\;\sup_{N\in\mathbb{N}}\;\inf_{k\ge N} a_k.
Aplicamos isso às três sequências de interesse:
\liminf\,x_n = \sup_{N}\inf_{k\ge N}x_k,\quad \liminf\,y_n = \sup_{N}\inf_{k\ge N}y_k,\quad \liminf\bigl(x_n+y_n\bigr)=\sup_{N}\inf_{k\ge N}\bigl(x_k+y_k\bigr).

Passo 3

Para cada N fixo, consideremos \inf_{k\ge N}(x_k + y_k).
Se definirmos
a_N = \inf_{k\ge N}x_k,\qquad b_N = \inf_{k\ge N}y_k,
então, para todo k\ge N, tem-se x_k\ge a_N e y_k\ge b_N, logo
x_k + y_k \;\ge\; a_N + b_N.
Tomando o ínfimo em k\ge N no lado esquerdo, obtemos
\inf_{k\ge N}(x_k + y_k)\;\ge\;a_N + b_N\,.

Passo 4

Agora aplicamos o supremo em ambos os lados, variando N:
\sup_{N}\inf_{k\ge N}(x_k + y_k) \;\ge\; \sup_{N}\bigl(a_N + b_N\bigr).
Falta ver que \sup_{N}(a_N + b_N)\ge \sup_{N}a_N \;+\;\sup_{N}b_N.
Dado \varepsilon>0, escolha N_1 tal que a_{N_1}>\sup a_N - \tfrac\varepsilon2 e N_2 tal que b_{N_2}>\sup b_N - \tfrac\varepsilon2. Seja N=\max(N_1,N_2). Então
a_N \ge a_{N_1}>\sup a_N - \tfrac\varepsilon2, \quad b_N \ge b_{N_2}>\sup b_N - \tfrac\varepsilon2,
e assim
a_N + b_N>\sup a_N + \sup b_N - \varepsilon.
Como \varepsilon é arbitrário, concluímos
\sup_{N}(a_N + b_N)\ge\sup_{N}a_N + \sup_{N}b_N.
Juntando tudo:
\liminf(x_n+y_n) =\sup_{N}\inf_{k\ge N}(x_k+y_k) \;\ge\; \sup_{N}a_N + \sup_{N}b_N =\liminf x_n + \liminf y_n.

Resposta

\liminf\bigl(x_n + y_n\bigr)\;\ge\;\liminf x_n \;+\;\liminf y_n.

Exercícios relacionados