Sejam
e
sequências limitadas de
. Mostre que:
;
Passo 1
O enunciado dá duas sequências limitadas em
,
e
, e pede para mostrar a desigualdade
O conteúdo principal é a definição de
em termos de supremum de ínfimos de caudas e uma propriedade elementar de ínfimos e supremos.
Passo 2
Recordando a definição de
de uma sequência real
:
Aplicamos isso às três sequências de interesse:
Passo 3
Para cada
fixo, consideremos
.
Se definirmos
Se definirmos
então, para todo
, tem-se
e
, logo
Tomando o ínfimo em
no lado esquerdo, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos o supremo em ambos os lados, variando
:
Falta ver que
.
Dado , escolha
tal que
e
tal que
. Seja
. Então
Dado
e assim
Como
é arbitrário, concluímos
Juntando tudo: