Seja ( x_{n} ) uma sequência limitada de \mathbb{R}. Mostre que:
Se c<0 então
\liminf \left(c x_{n}\right)=c \limsup x_{n}
e
\limsup \left(c x_{n}\right)=c \liminf x_{n} .

Passo 1

O enunciado dá uma sequência limitada (x_{n})\subset\mathbb{R} e uma constante c<0. Queremos mostrar as relações
\liminf_{n\to\infty}(c\,x_{n}) \;=\; c\,\limsup_{n\to\infty}x_{n}, \qquad \limsup_{n\to\infty}(c\,x_{n}) \;=\; c\,\liminf_{n\to\infty}x_{n}.
Para isso vamos usar a definição
\liminf_{n\to\infty}x_{n} =\sup_{N\in\mathbb{N}}\;\inf_{n\ge N}x_{n}, \quad \limsup_{n\to\infty}x_{n} =\inf_{N\in\mathbb{N}}\;\sup_{n\ge N}x_{n},
e a propriedade de que, se c<0, o mapeamento t\mapsto c\,t inverte a ordem:
\sup_{a\in A}(c\,a)=c\;\inf_{a\in A}a, \qquad \inf_{a\in A}(c\,a)=c\;\sup_{a\in A}a.

Passo 2

Prova da propriedade de inversão de ordem: seja A\subset\mathbb{R} não vazio e c<0. Como c\,a\le c\,b se e só se a\ge b, o maior valor de c\,a em A ocorre quando a é o menor de A, isto é
\sup_{a\in A}(c\,a)=c\;\inf_{a\in A}a.
De modo análogo, o menor valor de c\,a ocorre quando a é o maior de A, logo
\inf_{a\in A}(c\,a)=c\;\sup_{a\in A}a.

Passo 3

Cálculo de \liminf(c\,x_{n}):
\liminf_{n\to\infty}(c\,x_{n}) =\sup_{N}\;\inf_{n\ge N}(c\,x_{n}) =\sup_{N}\;c\;\sup_{n\ge N}x_{n} \;=\;c\;\inf_{N}\;\sup_{n\ge N}x_{n} \;=\;c\;\limsup_{n\to\infty}x_{n}.

Passo 4

Cálculo de \limsup(c\,x_{n}):
\limsup_{n\to\infty}(c\,x_{n}) =\inf_{N}\;\sup_{n\ge N}(c\,x_{n}) =\inf_{N}\;c\;\inf_{n\ge N}x_{n} \;=\;c\;\sup_{N}\;\inf_{n\ge N}x_{n} \;=\;c\;\liminf_{n\to\infty}x_{n}.

Resposta

\liminf_{n\to\infty}(c\,x_{n})=c\,\limsup_{n\to\infty}x_{n}, \qquad \limsup_{n\to\infty}(c\,x_{n})=c\,\liminf_{n\to\infty}x_{n}.

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