Sejam \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) sequências limitadas de \mathbb{R}. Mostre que:
\limsup \left(x_{n}+y_{n}\right) \leq \limsup x_{n}+\limsup y_{n}.

Passo 1

Estamos com duas sequências limitadas \bigl(x_{n}\bigr) e \bigl(y_{n}\bigr) em \mathbb{R}. O objetivo é mostrar que
\limsup_{n\to\infty}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr) \le \limsup_{n\to\infty}x_{n} + \limsup_{n\to\infty}y_{n}.
Vamos usar a definição de \limsup em termos de inf-sup e a propriedade de que a suprema de soma é no máximo a soma das supremas.

Passo 2

Recordando a definição de \limsup: \limsup_{n\to\infty}x_{n} = \inf_{N\ge1}\;\sup_{n\ge N}x_{n}, \quad \limsup_{n\to\infty}y_{n} = \inf_{N\ge1}\;\sup_{n\ge N}y_{n},
\limsup_{n\to\infty}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr) = \inf_{N\ge1}\;\sup_{n\ge N}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr).

Passo 3

Para cada N, como para todo n\ge N temos
x_{n}\le \sup_{k\ge N}x_{k} \quad\text{e}\quad y_{n}\le \sup_{k\ge N}y_{k},
segue que
x_{n}+y_{n} \le \sup_{k\ge N}x_{k} + \sup_{k\ge N}y_{k}.
Tomando supremum em n\ge N em ambos os lados,
\sup_{n\ge N}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr) \le \sup_{k\ge N}x_{k} + \sup_{k\ge N}y_{k}.

Passo 4

Agora aplicamos a infimum em N na desigualdade acima:
\inf_{N\ge1}\sup_{n\ge N}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr) \le \inf_{N\ge1}\Bigl(\sup_{n\ge N}x_{n}+\sup_{n\ge N}y_{n}\Bigr).
E usamos a propriedade geral \inf_{N}(a_{N}+b_{N})\le\inf_{N}a_{N}+\inf_{N}b_{N}, obtendo
\limsup_{n\to\infty}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr) \le \limsup_{n\to\infty}x_{n} + \limsup_{n\to\infty}y_{n}.

Resposta

\limsup_{n\to\infty}\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr) \le \limsup_{n\to\infty}x_{n} + \limsup_{n\to\infty}y_{n}.

Exercícios relacionados