Sejam
e
sequências limitadas de
. Mostre que:
.
Passo 1
Estamos com duas sequências limitadas
e
em
. O objetivo é mostrar que
Vamos usar a definição de
em termos de inf-sup e a propriedade de que a suprema de soma é no máximo a soma das supremas.
Passo 2
Recordando a definição de
Passo 3
Para cada
, como para todo
temos
segue que
Tomando supremum em
em ambos os lados,
Passo 4
Agora aplicamos a infimum em
na desigualdade acima:
E usamos a propriedade geral
, obtendo