Mostre que todo subconjunto finito de \mathbb{R} é fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo subconjunto finito de \mathbb{R} é fechado. O conteúdo de topologia que vamos usar é a definição de conjunto fechado: um conjunto A\subset\mathbb{R} é fechado se seu complemento \mathbb{R}\setminus A for aberto. Para isso, mostraremos que para qualquer ponto em \mathbb{R}\setminus A existe um intervalo centrado nele contido em \mathbb{R}\setminus A.

Passo 2

Seja
A = \{x_1,x_2,\dots,x_n\}
um subconjunto finito de \mathbb{R}. Pegue um ponto arbitrário
y \in \mathbb{R}\setminus A.
Então y \neq x_i para todo i, o que implica que cada \lvert y - x_i\rvert > 0. Definimos
r = \frac12 \min_{1\le i\le n} \lvert y - x_i\rvert.
Como cada \lvert y - x_i\rvert>0, temos r>0. Considere o intervalo
(y - r,\;y + r).
Para todo z\in(y-r,y+r) vale
\lvert z - x_i\rvert \;\ge\;\lvert y - x_i\rvert - \lvert z - y\rvert \;>\;2r - r = r>0,
logo z\neq x_i e portanto (y-r,y+r)\subset \mathbb{R}\setminus A. Assim, cada ponto de \mathbb{R}\setminus A tem uma vizinhança aberta contida em \mathbb{R}\setminus A.

Passo 3

Como mostramos que todo ponto de \mathbb{R}\setminus A possui um intervalo aberto interno, concluímos que \mathbb{R}\setminus A é aberto. Pelo critério de fechado, A é fechado.

Resposta

Portanto, todo subconjunto finito de \mathbb{R} é fechado.

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