Sejam u=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 5\end{array}\right], w=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 9 \\\\ 19 \\\\ 5\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.
a) Defina Combinação Linear.
b) Defina Conjunto Linearmente Independente.
c) Encontre uma base para o subespaço V=\langle u, v, w\rangle.
As perguntas são:
a) Dar a definição de combinação linear.
b) Dar a definição de conjunto linearmente independente.
c) Encontrar uma base para o subespaço V=\langle u,v,w\rangle (ou seja, uma base do espaço gerado por u,v,w).]
Passo 2
Definição (Combinação Linear) — explicação didática e formal:
Intuitivamente: um vetor x é uma combinação linear dos vetores v_1,\dots,v_k se dá para formar x somando cópias escalarmente multiplicadas desses vetores (como uma receita: pega a_1 vezes o primeiro, a_2 vezes o segundo, etc., e soma).
Definição formal: Diremos que x é uma combinação linear de v_1,\dots,v_k se existem escalares a_1,\dots,a_k\in\mathbb{R} tais que
x=a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k.
O que cada símbolo significa: a_i são números reais (os coeficientes), v_i são vetores dados, e a soma dá outro vetor no mesmo espaço. Exemplinho rápido: \begin{pmatrix}3\\\ 0\end{pmatrix} é combinação linear de \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} com coeficientes 3 e 0.
Passo 3
Definição (Conjunto Linearmente Independente) — explicação didática e formal:
Intuitivamente: vetores são linearmente independentes quando nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se existe uma dependência não trivial (coeficientes nem todos zero que somam para zero), então são dependentes.
Definição formal: Os vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução do sistema de escalares
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k = 0
é a_1=\cdots=a_k=0. Caso exista uma solução com algum a_i\neq 0, os vetores são linearmente dependentes.
Exemplo rápido: \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} são independentes; já \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} são dependentes porque o segundo é 2 vezes o primeiro.
Passo 4
Estratégia para (c) — como achar uma base de V=\langle u,v,w\rangle:
Primeiro verificar se algum dos vetores é combinação linear dos outros (isto pode reduzir o número de geradores).
Se um vetor for combinação dos outros, podemos descartá-lo; caso contrário mantemos todos.
Depois verificar se os vetores restantes são linearmente independentes; um conjunto independente que gere V é uma base.
Passo 5
Verificar se w\) é combinação linear de \(u\) e \(v\). Procuro escalares \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha u + \beta v = w.
Escrevendo componente a componente (pegando os componentes dos vetores dados):
Da segunda equação 3\alpha = 9\] segue \(\alpha = 3.
Da quarta equação 5\beta = 5 segue \beta = 1.
Verifico na primeira: -\alpha + 2\beta = -3 + 2\cdot 1 = -1, OK.
Verifico na terceira: 7\alpha -2\beta = 7\cdot 3 -2\cdot 1 = 21-2=19, OK.
Conclusão deste passo: com \alpha=3 e \beta=1 todas as equações são satisfeitas, logo
w = 3u + 1\cdot v.
Portanto w é combinação linear de u e v, então
\langle u,v,w\rangle = \langle u,v\rangle.]
Passo 6
Verificar se u\) e \(v\) são linearmente independentes (preciso disto para decidir se \(\{u,v\}\) é base de \(V\)).
Procuro escalares \(c,d\) tais que
\[c u + d v = 0.
Com c=0,d=0 as outras equações são satisfeitas. Não há solução com c ou d não nulos.
Conclusão: a única solução é c=d=0, isto é, u e v são linearmente independentes.]
Passo 7
Juntando os resultados:
w é combinação linear de u e v, logo não é necessário mantê-lo para gerar V.
Os vetores u e v são linearmente independentes.
Portanto \{u,v\} é um conjunto gerador e linearmente independente de V, logo é uma base de V.
Também segue que \dim(V)=2.
Resposta
(a) Uma combinação linear de vetores v_1,\dots,v_k é qualquer vetor da forma \displaystyle a_1 v_1+\cdots+a_k v_k com a_1,\dots,a_k\in\mathbb{R}.
(b) O conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução do sistema \displaystyle a_1 v_1+\cdots+a_k v_k=0 for a_1=\cdots=a_k=0. Caso exista solução com algum a_i\neq0, o conjunto é linearmente dependente.
(c) Uma base para V=\langle u,v,w\rangle é \left\{\,u,\;v\,\right\}, ou seja,