Defina subespaço vetorial. Mostre que
V=\{(3 a+b, \sqrt{2} a, a-3 b, b)\}
é um subespaço do \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) definir o que é um subespaço vetorial; (2) mostrar que o conjunto
V=\{(3a+b,\sqrt{2}a,a-3b,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas: V está descrito por vetores em \mathbb{R}^{4} parametrizados por a e b reais. Não há mais hipóteses adicionais.

Passo 2

Definição (passo didático): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades básicas:
  1. W contém o vetor nulo (o vetor 0 de \mathbb{R}^{n}).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in W.
Explicando cada item de forma simples:
  • Conter o vetor zero garante que há pelo menos um elemento neutro aditivo em W.
  • Fechamento por adição significa que somando dois vetores do conjunto não se “sai” do conjunto.
  • Fechamento por escalares significa que alongar ou comprimir (e mudar sinal) um vetor do conjunto não tira ele do conjunto.
Na prática, para conjuntos descritos por parâmetros (como a,b aqui) costuma-se verificar essas três propriedades mostrando que ao somar ou multiplicar vetores parametrizados obtém-se novamente um vetor com parâmetros reais.

Passo 3

Verificar que V não é vazio e contém o vetor zero.
Pegue a=0 e b=0. Então o vetor associado é
(3\cdot 0 + 0,\\ \sqrt{2}\cdot 0,\\\ 0-3\cdot 0,\\\ 0)=(0,0,0,0),
que é exatamente o vetor zero de \mathbb{R}^{4}. Portanto 0\in V.
Comentário amigável: já ficamos tranquilos sobre a existência do vetor zero — é só escolher os parâmetros nulos.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (passo detalhado).
Sejam dois vetores arbitrários de V. Escreva-os com parâmetros:
u=(3a_{1}+b_{1},\\ \sqrt{2}a_{1},\\ a_{1}-3b_{1},\\ b_{1})
e
v=(3a_{2}+b_{2},\\ \sqrt{2}a_{2},\\ a_{2}-3b_{2},\\ b_{2}),
com a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\in\mathbb{R}.
Calcule a soma coordenada a coordenada:
u+v=(3a_{1}+b_{1}+3a_{2}+b_{2},\\ \sqrt{2}a_{1}+\sqrt{2}a_{2},\\ a_{1}-3b_{1}+a_{2}-3b_{2},\\ b_{1}+b_{2}).
Agrupe termos por a e b:
u+v=(3(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2}),\\ \sqrt{2}(a_{1}+a_{2}),\\ (a_{1}+a_{2})-3(b_{1}+b_{2}),\\ b_{1}+b_{2}).
Agora observe que se definirmos a'=a_{1}+a_{2} e b'=b_{1}+b_{2} (que são números reais, pois soma de reais é real), então
u+v=(3a'+b',\\ \sqrt{2}a',\\ a'-3b',\\ b'),
ou seja, u+v tem a mesma forma paramétrica com a',b'\in\mathbb{R}. Conclusão: u+v\in V. Assim V é fechado por adição.
Comentário didático: a soma “se transfere” para os parâmetros. Essa é a razão prática pela qual conjuntos descritos linearmente por parâmetros costumam ser subespaços.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (passo detalhado).
Seja c\in\mathbb{R} e tome um vetor arbitrário de V,
u=(3a+b,\\ \sqrt{2}a,\\ a-3b,\\ b),
com a,b\in\mathbb{R}. Calcule c\,u coordenada a coordenada:
c\,u=(c(3a+b),\\ c\sqrt{2}a,\\ c(a-3b),\\ c b).
Reescreva agrupando c com os parâmetros:
c\,u=(3(ca)+(cb),\\ \sqrt{2}(ca),\\ (ca)-3(cb),\\ (cb)).
Se definirmos a''=ca e b''=cb (novamente reais), obtemos
c\,u=(3a''+b'',\\ \sqrt{2}a'',\\ a''-3b'',\\ b''),
que está na forma paramétrica de um elemento de V. Logo c\,u\in V. Portanto V é fechado por multiplicação por escalar.
Comentário didático: multiplicar por escalar apenas escala os parâmetros, de modo que a forma paramétrica é preservada.

Passo 6

Observação alternativa e interpretação geométrica (aula curta).
Note que a forma paramétrica pode ser escrita como combinação linear de dois vetores fixos. De fato, separando os coeficientes de a e b,
(3a+b,\\ \sqrt{2}a,\\ a-3b,\\ b)=a\,(3,\sqrt{2},1,0)+b\,(1,0,-3,1).
Chamando
v_{1}=(3,\sqrt{2},1,0),\qquad v_{2}=(1,0,-3,1),
temos V=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, isto é, V é o conjunto de todas as combinações lineares de v_{1} e v_{2}. Qualquer conjunto do tipo \operatorname{span} é naturalmente um subespaço vetorial, porque combinações lineares são fechadas por soma e multiplicação escalar (propriedade já verificada acima). Isso dá uma visão mais geométrica: V é um subespaço de dimensão menor ou igual a 2 dentro de \mathbb{R}^{4}.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: V contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares. Logo, pela definição, V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. A representação V=\operatorname{span}\{(3,\sqrt{2},1,0),(1,0,-3,1)\} é uma forma útil e mostra que V é um subespaço gerado por dois vetores.

Resposta

Definição: Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial se contém o vetor zero, é fechado por adição e é fechado por multiplicação por escalares.
V é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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