Defina subespaço vetorial. Mostre que
é um subespaço do
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) definir o que é um subespaço vetorial; (2) mostrar que o conjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas: está descrito por vetores em
parametrizados por
e
reais. Não há mais hipóteses adicionais.
Informações dadas:
Passo 2
Definição (passo didático): um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades básicas:
-
contém o vetor nulo (o vetor de ). -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicando cada item de forma simples:
- Conter o vetor zero garante que há pelo menos um elemento neutro aditivo em
. - Fechamento por adição significa que somando dois vetores do conjunto não se “sai” do conjunto.
- Fechamento por escalares significa que alongar ou comprimir (e mudar sinal) um vetor do conjunto não tira ele do conjunto.
Na prática, para conjuntos descritos por parâmetros (como
aqui) costuma-se verificar essas três propriedades mostrando que ao somar ou multiplicar vetores parametrizados obtém-se novamente um vetor com parâmetros reais.
Passo 3
Verificar que
não é vazio e contém o vetor zero.
Pegue
e
. Então o vetor associado é
que é exatamente o vetor zero de
. Portanto
.
Comentário amigável: já ficamos tranquilos sobre a existência do vetor zero — é só escolher os parâmetros nulos.
Passo 4
Verificar fechamento por adição (passo detalhado).
Sejam dois vetores arbitrários de
. Escreva-os com parâmetros:
e
com
.
Calcule a soma coordenada a coordenada:
Agrupe termos por
e
:
Agora observe que se definirmos
e
(que são números reais, pois soma de reais é real), então
ou seja,
tem a mesma forma paramétrica com
. Conclusão:
. Assim
é fechado por adição.
Comentário didático: a soma “se transfere” para os parâmetros. Essa é a razão prática pela qual conjuntos descritos linearmente por parâmetros costumam ser subespaços.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (passo detalhado).
Seja
e tome um vetor arbitrário de
,
com
. Calcule
coordenada a coordenada:
Reescreva agrupando
com os parâmetros:
Se definirmos
e
(novamente reais), obtemos
que está na forma paramétrica de um elemento de
. Logo
. Portanto
é fechado por multiplicação por escalar.
Comentário didático: multiplicar por escalar apenas escala os parâmetros, de modo que a forma paramétrica é preservada.
Passo 6
Observação alternativa e interpretação geométrica (aula curta).
Note que a forma paramétrica pode ser escrita como combinação linear de dois vetores fixos. De fato, separando os coeficientes de
e
,
Chamando
temos
, isto é,
é o conjunto de todas as combinações lineares de
e
. Qualquer conjunto do tipo
é naturalmente um subespaço vetorial, porque combinações lineares são fechadas por soma e multiplicação escalar (propriedade já verificada acima). Isso dá uma visão mais geométrica:
é um subespaço de dimensão menor ou igual a
dentro de
.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio:
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares. Logo, pela definição,
é um subespaço vetorial de
. A representação
é uma forma útil e mostra que
é um subespaço gerado por dois vetores.
Resposta
Definição: Um subconjunto
é subespaço vetorial se contém o vetor zero, é fechado por adição e é fechado por multiplicação por escalares.