Sejam A=\left[\begin{array}{cc}1 & x^{2} \\\\ 10 & 6\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}1 & x & 0 \\\\ 1 & 0 & x\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}1 & 6 \\\\ 0 & -1 \\\ x & 0\end{array}\right] matrizes com entradas reais, com x \in \mathbb{R} de modo que A=B C. O que podemos afirmar sobre o x ? Escolha a alternativa correta:
(a) x é um número real no intervalo aberto (-5,1).
(b) x é um número primo maior que 10.
(c) x é um número inteiro menor que -4 .
(d) x é um número real no intervalo aberto (-2,8).
(e) Não existe x \in \mathbb{R} tal que A=B C.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes que dependem de x:
A = \begin{pmatrix}1 & x^2 \\[6pt] 10 & 6\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & x & 0 \\[4pt] 1 & 0 & x\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 6 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] x & 0\end{pmatrix},
e pede x\in\mathbb{R} tal que A = B\,C. O conteúdo é multiplicação de matrizes e igualdade matricial (comparar entradas).]

Passo 2

Calculemos B\,C. Como B é 2\times3 e C é 3\times2, o produto é 2\times2.
A entrada (1,2) de B\,C vale
(B\,C)_{12} = 1\cdot6 + x\cdot(-1) + 0\cdot0 = 6 - x,
que deve ser igual a A_{12}=x^2. Logo
6 - x = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-1\pm5}{2} \;\Rightarrow\; x\in\{2,\,-3\}.

Passo 3

Agora a entrada (2,1) de B\,C é
(B\,C)_{21} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + x\cdot x = 1 + x^2,
que deve ser igual a A_{21}=10. Assim
1 + x^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x\in\{3,\,-3\}.
A entrada (2,2) de B\,C 6, que coincide com A_{22}=6 e não impõe nova condição.

Passo 4

Para satisfazer simultaneamente as duas equações, x deve pertencer a \{2,-3\}\cap\{3,-3\}=\{-3\}. Portanto o único valor real que funciona é
x = -3.

Passo 5

Das alternativas dadas, somente a (a) afirma que x está em (-5,1), intervalo que contém -3. As demais estão incorretas.

Resposta

(a) x é um número real no intervalo aberto (-5,1).

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