Sejam x, y, z, w \in \mathbb{R} de modo que
\left[\begin{array}{cc} x & y \\\ z & w \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ 5 & 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] .
Então, o resultado da expressão 3(x-z)+w-y é:
(a) 2 .
(b) 1 .
(c) 0 .
(d) -1 .
(e) -2 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de matrizes
\begin{pmatrix} x & y \\\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\\\ 5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Isso significa que \begin{pmatrix}x&y\z&w\end{pmatrix}=B^{-1}, onde
B=\begin{pmatrix}2&5\\\ 5&4\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é inversão de matriz 2\times2, usando a fórmula
B^{-1}=\frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix} \quad\text{para } B=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.

Passo 2

Calculamos o determinante de B. Para
B=\begin{pmatrix}2&5\\\ 5&4\end{pmatrix}
temos
\det B = 2\cdot4 - 5\cdot5 = 8 - 25 = -17.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da inversa de 2\times2. Assim,
B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\\\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-17} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\\\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{4}{17} & \tfrac{5}{17} \\\ \tfrac{5}{17} & -\tfrac{2}{17} \end{pmatrix}.

Passo 4

Da expressão acima identificamos
x = -\frac{4}{17},\; y = \frac{5}{17},\; z = \frac{5}{17},\; w = -\frac{2}{17}.

Passo 5

Calculamos a expressão 3(x - z) + w - y:
x - z = -\frac{4}{17} - \frac{5}{17} = -\frac{9}{17}, \quad 3(x - z) = -\frac{27}{17},
w - y = -\frac{2}{17} - \frac{5}{17} = -\frac{7}{17},
3(x - z) + w - y = -\frac{27}{17} - \frac{7}{17} = -\frac{34}{17} = -2.

Resposta

(e) -2

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