Sejam A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3} e B=\left[b_{i j}\right]_{3 \times 3} matrizes quadradas de ordem 3 tais que: A é simétrica, B é triangular inferior, a_{i j}=2 j-i se i \leq j, e b_{i j}=2 i-j se i \geq j. Determine (2 A+B)^{T}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular (2A+B)^{T}, onde A é simétrica e B é triangular inferior. Os elementos de A e B são dados por
a_{ij} = 2j - i \quad\text{se }i\le j, \qquad b_{ij} = 2i - j \quad\text{se }i\ge j.
O conteúdo principal é usar a linearidade da transposição e as propriedades de matrizes simétricas e triangulares.
Passo 2
Usando a propriedade \bigl(X+Y\bigr)^{T}=X^{T}+Y^{T} e \bigl(kX\bigr)^{T}=kX^{T}, temos
(2A+B)^{T} = 2A^{T} + B^{T}.
Como A é simétrica, A^{T}=A. Logo
(2A+B)^{T} = 2A + B^{T}.
Passo 3
Vamos achar a expressão genérica do elemento (i,j) de A. Pela simetria e definição:
se i\le j, então a_{ij}=2j - i,
se i>j, então a_{ij}=a_{ji}=2i - j.
Passo 4
O elemento (i,j) de B^{T} é (B^{T})_{ij}=b_{ji}. Como B é triangular inferior,
b_{ji} = \begin{cases} 2j - i, & j\ge i,\\\\ 0, & j< i. \end{cases}