Sejam A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3} e B=\left[b_{i j}\right]_{3 \times 3} matrizes quadradas de ordem 3 tais que: A é simétrica, B é triangular inferior, a_{i j}=2 j-i se i \leq j, e b_{i j}=2 i-j se i \geq j. Determine (2 A+B)^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (2A+B)^{T}, onde A é simétrica e B é triangular inferior. Os elementos de A e B são dados por
a_{ij} = 2j - i \quad\text{se }i\le j, \qquad b_{ij} = 2i - j \quad\text{se }i\ge j.
O conteúdo principal é usar a linearidade da transposição e as propriedades de matrizes simétricas e triangulares.

Passo 2

Usando a propriedade \bigl(X+Y\bigr)^{T}=X^{T}+Y^{T} e \bigl(kX\bigr)^{T}=kX^{T}, temos
(2A+B)^{T} = 2A^{T} + B^{T}.
Como A é simétrica, A^{T}=A. Logo
(2A+B)^{T} = 2A + B^{T}.

Passo 3

Vamos achar a expressão genérica do elemento (i,j) de A. Pela simetria e definição:
  • se i\le j, então a_{ij}=2j - i,
  • se i>j, então a_{ij}=a_{ji}=2i - j.

Passo 4

O elemento (i,j) de B^{T} é (B^{T})_{ij}=b_{ji}. Como B é triangular inferior,
b_{ji} = \begin{cases} 2j - i, & j\ge i,\\\\ 0, & j< i. \end{cases}

Passo 5

Agora combinamos
c_{ij} \;=\;(2A + B^{T})_{ij} \;=\;2\,a_{ij} \;+\;(B^{T})_{ij}.
Dividindo em casos:
  • Se i\le j, então a_{ij}=2j-i e (B^{T})_{ij}=2j-i, logo
    c_{ij} = 2(2j-i)+(2j-i) = 3(2j-i) = 6j - 3i.
  • Se i>j, então a_{ij}=2i-j e (B^{T})_{ij}=0, logo
    c_{ij} = 2(2i-j) = 4i - 2j.

Passo 6

Calculando todos os c_{ij} para i,j=1,2,3, obtemos
(2A+B)^{T} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 15 \\\\ 6 & 6 & 12 \\\\ 10 & 8 & 9 \end{pmatrix}.

Resposta

(2A+B)^{T} = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 15 \\\\ 6 & 6 & 12 \\\\ 10 & 8 & 9 \end{pmatrix}.

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