Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{c}-1 \\\ 2 \\\ 4\end{array}\right] \quad \text { e } \quad D=\left[\begin{array}{ll}1 & -1\end{array}\right] .
Calcule
B \cdot C

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1 & -1\end{bmatrix}.
O que se pede é: calcular B\cdot C.]

Passo 2

Vamos entender o que significa multiplicar uma matriz por um vetor-coluna. Se B tem dimensão m\times n e C tem dimensão n\times 1, então o produto BC existe e terá dimensão m\times 1. Cada entrada de BC é a soma dos produtos correspondentes entre uma linha de B e o vetor C. Em fórmula:
(BC)_i=\sum_{j=1}^n B_{ij}\,C_j,
onde B_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de B, e C_j é a entrada j de C.
No nosso caso, B é 2\times 3 e C é 3\times 1, logo BC será um vetor 2\times 1. Cada componente de BC é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de B com o vetor C.

Passo 3

Escrevendo as linhas de B e as entradas de C:
\text{linha 1 de }B = \begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad \text{linha 2 de }B = \begin{bmatrix}3 & 0 & 1\end{bmatrix},
C=\begin{bmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{bmatrix}.
Calcular a primeira componente de BC (produto escalar linha 1 com C):
(BC)_1 = (-2)\cdot(-1) + 0\cdot 2 + 1\cdot 4 = 2 + 0 + 4 = 6.]

Passo 4

Calcular a segunda componente de BC (produto escalar linha 2 com C):
(BC)_2 = 3\cdot(-1) + 0\cdot 2 + 1\cdot 4 = -3 + 0 + 4 = 1.

Passo 5

Resumo prático para a prova: verifique sempre as dimensões (aqui 2\times3 vezes 3\times1 2\times1), depois calcule cada entrada como soma dos produtos correspondentes entre a linha de B e o vetor C. É um processo mecânico e rápido quando os números são pequenos — faça os produtos e some.

Resposta

\begin{bmatrix}6\\[4pt]1\end{bmatrix}]

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