Sejam S, T \in L\left(\mathbb{R}^{3}\right) definidos por
S(x, y, z)=(x, 2 y, x-y) \quad \text { e } \quad T(x, y, z)=(x-z, y, z)
Determine as matrizes dos operadores: [S \circ T],[T \circ S].
\mathrm{R}:[S \circ T]\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & -1 & -1\end{array}\right) ;[T \circ S]=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares S,T\in L(\mathbb{R}^3) e pede as matrizes dos compostos S\circ T e T\circ S na base canônica. As informações fornecidas são:
S(x,y,z)=(x,2y,x-y), \qquad T(x,y,z)=(x-z,y,z).
O que se pede:
  • Determinar [S\circ T], a matriz de S\circ T relativa à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
  • Determinar [T\circ S], a matriz de T\circ S relativa à mesma base.

Passo 2

Conceito e método (aula rápida e prática):
  • Para achar a matriz de uma transformação linear A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 na base canônica, basta calcular A(e_1),A(e_2),A(e_3) onde
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
  • As imagens A(e_1),A(e_2),A(e_3) formam as colunas da matriz [A].
  • Para composições, vale a regra de matrizes: [S\circ T]=[S]\,[T] (multiplicação usual de matrizes). Outra forma prática: as colunas de [S\circ T] são S(T(e_1)),S(T(e_2)),S(T(e_3)).

Passo 3

Calcular a matriz de T encontrando T(e_i).
T(e_1)=T(1,0,0)=(1-0,0,0)=(1,0,0).
T(e_2)=T(0,1,0)=(0-0,1,0)=(0,1,0).
T(e_3)=T(0,0,1)=(0-1,0,1)=(-1,0,1).
Portanto, as colunas são essas imagens e
[T]=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a matriz de S encontrando S(e_i).
S(e_1)=S(1,0,0)=(1,0,1).
S(e_2)=S(0,1,0)=(0,2,-1).
S(e_3)=S(0,0,1)=(0,0,0).
Logo
[S]=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Explicando a composição na prática:
  • Para [S\circ T] posso multiplicar [S][T] ou aplicar S às colunas de [T]. Vou usar a idea das colunas (é direto e evita erro): as colunas de [S\circ T] são S(T(e_1)),S(T(e_2)),S(T(e_3)).

Passo 6

Calcular S(T(e_i)) coluna a coluna.
Já temos T(e_1)=(1,0,0). Então
S(T(e_1))=S(1,0,0)=(1,0,1).
Já temos T(e_2)=(0,1,0). Então
S(T(e_2))=S(0,1,0)=(0,2,-1).
Já temos T(e_3)=(-1,0,1). Então
S(T(e_3))=S(-1,0,1)=(-1,0,-1),
porque S(x,y,z)=(x,2y,x-y) aplicado a (-1,0,1) (-1,0,-1).
Portanto as colunas de [S\circ T] são (1,0,1),(0,2,-1),(-1,0,-1) e
[S\circ T]=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora para [T\circ S] fazemos o mesmo: as colunas são T(S(e_1)),T(S(e_2)),T(S(e_3)).
Já temos S(e_1)=(1,0,1). Então
T(S(e_1))=T(1,0,1)=(1-1,0,1)=(0,0,1).
Já temos S(e_2)=(0,2,-1). Então
T(S(e_2))=T(0,2,-1)=(0-(-1),2,-1)=(1,2,-1).
Já temos S(e_3)=(0,0,0). Então
T(S(e_3))=T(0,0,0)=(0,0,0).
Portanto as colunas de [T\circ S] são (0,0,1),(1,2,-1),(0,0,0) e
[T\circ S]=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

[S\circ T]=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
[T\circ S]=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

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