O enunciado dá duas transformações lineares S,T\in L(\mathbb{R}^3) e pede as matrizes dos compostos S\circ T e T\circ S na base canônica. As informações fornecidas são:
S(x,y,z)=(x,2y,x-y), \qquad T(x,y,z)=(x-z,y,z).
O que se pede:
Determinar [S\circ T], a matriz de S\circ T relativa à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
Determinar [T\circ S], a matriz de T\circ S relativa à mesma base.
Passo 2
Conceito e método (aula rápida e prática):
Para achar a matriz de uma transformação linear A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 na base canônica, basta calcular A(e_1),A(e_2),A(e_3) onde
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
As imagens A(e_1),A(e_2),A(e_3) formam as colunas da matriz [A].
Para composições, vale a regra de matrizes: [S\circ T]=[S]\,[T] (multiplicação usual de matrizes). Outra forma prática: as colunas de [S\circ T] são S(T(e_1)),S(T(e_2)),S(T(e_3)).
Para [S\circ T] posso multiplicar [S][T] ou aplicar S às colunas de [T]. Vou usar a idea das colunas (é direto e evita erro): as colunas de [S\circ T] são S(T(e_1)),S(T(e_2)),S(T(e_3)).
Passo 6
Calcular S(T(e_i)) coluna a coluna.
Já temos T(e_1)=(1,0,0). Então
S(T(e_1))=S(1,0,0)=(1,0,1).
Já temos T(e_2)=(0,1,0). Então
S(T(e_2))=S(0,1,0)=(0,2,-1).
Já temos T(e_3)=(-1,0,1). Então
S(T(e_3))=S(-1,0,1)=(-1,0,-1),
porque S(x,y,z)=(x,2y,x-y) aplicado a (-1,0,1) dá (-1,0,-1).
Portanto as colunas de [S\circ T] são (1,0,1),(0,2,-1),(-1,0,-1) e