Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{3 x+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. A equação que nos deram é:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+3y}{3x+y}.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita da solução), isto é, integrar essa EDO e apresentar a família de curvas que satisfazem a relação acima.

Passo 2

Observação sobre a estrutura e escolha da substituição (explicação didática).
A expressão do lado direito é uma função do quociente y/x (ambos termos são lineares em x e y), logo a razão entre dois polinômios de grau 1 sugere que a equação é homogênea de grau zero. Nesses casos a substituição clássica e muito prática é
y = v x,
onde v é função de x. Intuição: escrever y como v(x)\cdot x transforma a EDO em uma para v(x) que normalmente é separável. Vou explicar passo a passo como usar essa substituição.

Passo 3

Aplicar a substituição y = v x e calcular \dfrac{dy}{dx}.
Se y = v x, usando a regra do produto:
\frac{d y}{d x} = v + x\frac{d v}{d x}.
Agora substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\,dv/dx na equação original:
v + x\frac{d v}{d x} = \frac{x + 3(vx)}{3x + vx}.
Simplifico o lado direito fatorando x:
\frac{x + 3vx}{3x + vx} = \frac{x(1+3v)}{x(3+v)} = \frac{1+3v}{3+v}.
Portanto a equação fica
v + x\frac{d v}{d x} = \frac{1+3v}{3+v}.

Passo 4

Isolar \dfrac{dv}{dx} e transformar em forma separável.
Subtraindo v de ambos os lados:
x\frac{d v}{d x} = \frac{1+3v}{3+v} - v.
Faço a subtração no lado direito com denominador comum 3+v:
\frac{1+3v}{3+v} - v = \frac{1+3v - v(3+v)}{3+v} = \frac{1+3v -3v - v^2}{3+v} = \frac{1 - v^2}{3+v}.
Então obtemos a equação separável
x\frac{d v}{d x} = \frac{1 - v^2}{3+v}.
Reescrevendo para separar variáveis:
\frac{3+v}{1 - v^2}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados (explicando as integrais).
Vamos integrar
\int \frac{3+v}{1 - v^2}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Para a integral à esquerda fazemos frações parciais. Note que 1 - v^2=(1-v)(1+v). Procuramos constantes A,B tais que
\frac{3+v}{1-v^2}=\frac{A}{1-v}+\frac{B}{1+v}.
Multiplicando por 1-v^2 obtemos
3+v = A(1+v)+B(1-v) = (A+B) + (A-B)v.
Comparando coeficientes: A+B=3 e A-B=1. Resolvendo dá A=2 e B=1. Assim
\frac{3+v}{1 - v^2}=\frac{2}{1-v}+\frac{1}{1+v}.
Agora integro termo a termo:
\int\left(\frac{2}{1-v}+\frac{1}{1+v}\right)dv = \int \frac{dx}{x}.
As primitivas são (lembrando que \int \frac{1}{1-v}dv = -\ln|1-v|):
-2\ln|1-v| + \ln|1+v| = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Simplificar o resultado e voltar à variável original y.
Juntando os logaritmos:
\ln\left(\frac{1+v}{(1-v)^2}\right) = \ln|x| + C.
Exponenciando ambos os lados (absorvendo e^C numa constante positiva arbitrária K\neq0):
\frac{1+v}{(1-v)^2} = K x.
Agora substituo v=\dfrac{y}{x}. Primeiro calculo 1+v e 1-v:
1+v = 1 + \frac{y}{x} = \frac{x+y}{x},\qquad 1-v = \frac{x-y}{x}.
Então
\frac{1+v}{(1-v)^2} = \frac{\dfrac{x+y}{x}}{\left(\dfrac{x-y}{x}\right)^2} = \frac{x+y}{x}\cdot\frac{x^2}{(x-y)^2} = x\cdot\frac{x+y}{(x-y)^2}.
A igualdade \dfrac{1+v}{(1-v)^2} = K x torna-se
x\cdot\frac{x+y}{(x-y)^2} = K x.
Para x\neq 0 podemos simplificar por x, obtendo a forma implícita simples
\frac{x+y}{(x-y)^2} = C,
onde C é uma constante arbitrária (absorvi K em C). Essa é a solução geral implícita. Observações rápidas: pontos com x=0 devem ser tratados separadamente se necessário; além disso a linha 3x+y=0 faz o RHS original indefinido (singularidade), e a solução geral é válida em cada região onde as expressões envolvidas são bem definidas.

Resposta

\dfrac{x+y}{(x-y)^2}=C

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