Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{3 x+y}
frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{3 x+y}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. A equação que nos deram é:
O objetivo é encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita da solução), isto é, integrar essa EDO e apresentar a família de curvas que satisfazem a relação acima.
Passo 2
Observação sobre a estrutura e escolha da substituição (explicação didática).
A expressão do lado direito é uma função do quociente (ambos termos são lineares em
e
), logo a razão entre dois polinômios de grau 1 sugere que a equação é homogênea de grau zero. Nesses casos a substituição clássica e muito prática é
A expressão do lado direito é uma função do quociente
onde
é função de
. Intuição: escrever
como
transforma a EDO em uma para
que normalmente é separável. Vou explicar passo a passo como usar essa substituição.
Passo 3
Aplicar a substituição
e calcular
.
Se , usando a regra do produto:
Se
Agora substituímos
e
na equação original:
Simplifico o lado direito fatorando
:
Portanto a equação fica
Passo 4
Isolar
e transformar em forma separável.
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo
Faço a subtração no lado direito com denominador comum
:
Então obtemos a equação separável
Reescrevendo para separar variáveis:
Passo 5
Integrar ambos os lados (explicando as integrais).
Vamos integrar
Vamos integrar
Para a integral à esquerda fazemos frações parciais. Note que
. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
. Resolvendo dá
e
. Assim
Agora integro termo a termo:
As primitivas são (lembrando que
):
onde
é constante de integração.
Passo 6
Simplificar o resultado e voltar à variável original
.
Juntando os logaritmos:
Juntando os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados (absorvendo
numa constante positiva arbitrária
):
Agora substituo
. Primeiro calculo
e
:
Então
A igualdade
torna-se
Para
podemos simplificar por
, obtendo a forma implícita simples
onde
é uma constante arbitrária (absorvi
em
). Essa é a solução geral implícita. Observações rápidas: pontos com
devem ser tratados separadamente se necessário; além disso a linha
faz o RHS original indefinido (singularidade), e a solução geral é válida em cada região onde as expressões envolvidas são bem definidas.