Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
F \in L\left(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R}\right) definida por F(x, y, z, t)=2 x+y-z+3 t

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear F de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R} definida por
F(x,y,z,t)=2x+y-z+3t.
Pede-se: determinar a matriz de F em relação às bases canônicas dos espaços \mathbb{R}^{4} (domínio) e \mathbb{R} (contradomínio). Vou listar claramente o que isso significa:
  • Domínio: \mathbb{R}^{4} com a base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}, onde \,e_{1}=(1,0,0,0),\;e_{2}=(0,1,0,0),\;e_{3}=(0,0,1,0),\;e_{4}=(0,0,0,1)\,.
  • Contradomínio: \mathbb{R} com a base canônica \{f_{1}\}, onde f_{1}=1 (ou seja, qualquer número real é múltiplo deste vetor básico).
  • Objetivo: escrever a matriz de F que, aplicada ao vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}, retorna F(x,y,z,t) como número real (representado como coordenada na base \{f_{1}\}).

Passo 2

Conceito básico (explicadinho): como obter a matriz de uma transformação linear entre espaços com bases escolhidas.
  • Regra prática: a matriz de F em relação às bases escolhidas tem como j‑ésima coluna as coordenadas da imagem do j‑ésimo vetor da base do domínio, expressas na base do contradomínio.
  • No nosso caso o contradomínio é \mathbb{R} com base \{f_{1}\}. Assim cada imagem F(e_j) é um número real; esse número é justamente a coordenada da coluna j.
  • Em termos operacionais: se a matriz de F for A (de tamanho 1\times 4), então
A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F(x,y,z,t)\end{pmatrix}.
Ou seja, A é um vetor linha contendo os coeficientes que multiplicam (x,y,z,t).

Passo 3

Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica do domínio (pegando diretamente da definição de F):
  • Para e_{1}=(1,0,0,0):
F(e_{1})=F(1,0,0,0)=2\cdot1+0-0+3\cdot0=2.
  • Para e_{2}=(0,1,0,0):
F(e_{2})=F(0,1,0,0)=2\cdot0+1-0+3\cdot0=1.
  • Para e_{3}=(0,0,1,0):
F(e_{3})=F(0,0,1,0)=2\cdot0+0-1+3\cdot0=-1.
  • Para e_{4}=(0,0,0,1):
F(e_{4})=F(0,0,0,1)=2\cdot0+0-0+3\cdot1=3.

Passo 4

Montagem da matriz seguindo a regra das colunas: cada coluna j é a coordenada de F(e_j) na base \{f_{1}\}. Como cada F(e_j) é um número, as colunas são esses números. Logo a matriz A tem dimensão 1\times4 e é
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar seguro e entender como usar na prova): multiplica-se A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} =2x+1\cdot y+(-1)\cdot z+3t,
que é exatamente F(x,y,z,t). Perfeito — a matriz está correta.

Passo 6

Observação didática final e encorajamento: para funcionais lineares (mapas para \mathbb{R}) é comum tratar a matriz como um “vetor linha” formado pelos coeficientes da expressão afim/linear. Na prova, ao ver F(x,\dots)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n, já sabe que a matriz (base canônica) é \begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}. Você está indo bem — continue praticando esse procedimento com outros exemplos rápidos para fixar!

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix}

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