Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
definida por
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
de
em
definida por
Pede-se: determinar a matriz de
em relação às bases canônicas dos espaços
(domínio) e
(contradomínio). Vou listar claramente o que isso significa:
- Domínio:
com a base canônica , onde . - Contradomínio:
com a base canônica , onde (ou seja, qualquer número real é múltiplo deste vetor básico). - Objetivo: escrever a matriz de
que, aplicada ao vetor coluna , retorna como número real (representado como coordenada na base ).
Passo 2
Conceito básico (explicadinho): como obter a matriz de uma transformação linear entre espaços com bases escolhidas.
- Regra prática: a matriz de
em relação às bases escolhidas tem como j‑ésima coluna as coordenadas da imagem do j‑ésimo vetor da base do domínio, expressas na base do contradomínio. - No nosso caso o contradomínio é
com base . Assim cada imagem é um número real; esse número é justamente a coordenada da coluna . - Em termos operacionais: se a matriz de
for (de tamanho ), então
Ou seja,
é um vetor linha contendo os coeficientes que multiplicam
.
Passo 3
Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica do domínio (pegando diretamente da definição de
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Montagem da matriz seguindo a regra das colunas: cada coluna
é a coordenada de
na base
. Como cada
é um número, as colunas são esses números. Logo a matriz
tem dimensão
e é
Passo 5
Verificação rápida (para ficar seguro e entender como usar na prova): multiplica-se
pelo vetor coluna
:
que é exatamente
. Perfeito — a matriz está correta.
Passo 6
Observação didática final e encorajamento: para funcionais lineares (mapas para
) é comum tratar a matriz como um “vetor linha” formado pelos coeficientes da expressão afim/linear. Na prova, ao ver
, já sabe que a matriz (base canônica) é
. Você está indo bem — continue praticando esse procedimento com outros exemplos rápidos para fixar!