Sejam M=[lll4 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 9] e X^0=[c1 2 -1]. Calcule o volume de E(M, X^0).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz diagonal
M = 4 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 9
e o vetor
X^0 = 12-1,
e pede o volume do elipsoide
E(M,X^0)=,xinR^3mid (x-X^0)^TM(x-X^0)<= 1
O conteúdo aqui é usar mudança de variável para transformar esse elipsoide na bola unitária em R^3.

Passo 2

Como M é simétrica positiva definida e diagonal, podemos escrever
M = D = diag(4,1,9) Longrightarrow D^1/2 = diag(2,1,3),
e então definir a variável
y = D^1/2,(x - X^0)
Nessa variável, a condição (x-X^0)^TD(x-X^0)<=1 fica
y^Ty <= 1,
que é exatamente a bola unitária em R^3.

Passo 3

A mudança de variável é
x = X^0 + D^-1/2,y,
cujo Jacobiano tem determinante
det!l(D^-1/2r) = 1raizdet(D) = 1raizdet(M)
Logo, o volume do elipsoide é
Voll(E(M,X^0)r) = det(D^-1/2);Voll(B3(0,1)r),
onde Vol(B3(0,1))=tfrac4pi3.

Passo 4

Calculamos
det(M) = 4cdot1cdot9 = 36 Longrightarrow raizdet(M) = 6,
de modo que
detl(D^-1/2r) = 16,
e portanto
Voll(E(M,X^0)r) = 16times 4pi3 = 4pi18 = 2pi9

Resposta

2pi9

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