Sejam
e
espaços métricos e
uma função. Suponha que existam fechados
em
tais que
e tais que
sejam funções contínuas.
i) Mostre que
é uma função contínua. (Dica use a caracterização de função contínua com inversos de fechados)
ii) Mostre que se, ao invés de um número finito de fechados, tivermos um número infinito, então não podemos concluir que a função
é contínua. (Dica: Lembre que
é sempre um conjunto fechado)
i) Mostre que
ii) Mostre que se, ao invés de um número finito de fechados, tivermos um número infinito, então não podemos concluir que a função
Passo 1
O enunciado considera espaços métricos
e
e uma função
. Suponha que existam fechados
com
e que cada restrição
seja contínua. Precisamos mostrar:
i) é contínua em
;
ii) o mesmo pode falhar se tivermos uma família infinita de fechados cobrindo .
i)
ii) o mesmo pode falhar se tivermos uma família infinita de fechados cobrindo
Passo 2
Usamos a caracterização de continuidade via fechados:
é contínua em
se e somente se para todo conjunto fechado
, a preimagem
for fechada em
.
Passo 3
Seja
fechado. Em cada
vale
Como
é contínua,
é fechado em
. Mas
é fechado em
, logo essa preimagem é também fechada em
. Portanto
é união finita de fechados em
e, assim, é fechado. Concluímos que
é contínua.
Passo 4
Para ver que o resultado pode falhar com família infinita, tome
com a métrica usual, e defina
Cada conjunto
e cada
é fechado em
, e em cada um
é constante, logo contínua. Contudo
não é contínua em
: ao aproximar
em
(com
),
. Equivalentemente, a preimagem de
é
, que não é fechado em
pois seu ponto limite
não está incluído. Isso mostra que a continuidade de
não se garante quando usamos uma cobertura infinita de fechados.
Resposta
i)
é contínua em
.
ii) Com família infinita de fechados cobrindo ,
pode deixar de ser contínua (veja o contraexemplo acima).
ii) Com família infinita de fechados cobrindo