Sejam (M, d) e (N, tilded) espaços métricos e f: M N uma função. Suponha que existam fechados F1, ldots, Fn em M tais que M=F1 cup ldots cup Fn e tais que f|Fj: Fj N sejam funções contínuas.
i) Mostre que f é uma função contínua. (Dica use a caracterização de função contínua com inversos de fechados)
ii) Mostre que se, ao invés de um número finito de fechados, tivermos um número infinito, então não podemos concluir que a função f é contínua. (Dica: Lembre que x é sempre um conjunto fechado)

Passo 1

O enunciado considera espaços métricos (M,d) e (N,tilde d) e uma função fcolon Mto N. Suponha que existam fechados F1,dots,Fnsubset M com
M=cupj=1^nFj
e que cada restrição ,f|Fjcolon Fjto N seja contínua. Precisamos mostrar:
i) f é contínua em M;
ii) o mesmo pode falhar se tivermos uma família infinita de fechados cobrindo M.

Passo 2

Usamos a caracterização de continuidade via fechados:
f é contínua em M se e somente se para todo conjunto fechado Csubset N, a preimagem f^-1(C) for fechada em M.

Passo 3

Seja Csubset N fechado. Em cada Fj vale
(f|Fj)^-1(C)=,xin Fj:f(x)in C=f^-1(C)cap Fj
Como f|Fj é contínua, (f|Fj)^-1(C) é fechado em Fj. Mas Fj é fechado em M, logo essa preimagem é também fechada em M. Portanto
f^-1(C)=cupj=1^nl(f^-1(C)cap Fjr)
é união finita de fechados em M e, assim, é fechado. Concluímos que f é contínua.

Passo 4

Para ver que o resultado pode falhar com família infinita, tome
M=0cup1/n:nin Nsubset R
com a métrica usual, e defina
f(0)=1, f(1/n)=0forall nin N
Cada conjunto 0 e cada 1/n é fechado em M, e em cada um f é constante, logo contínua. Contudo f não é contínua em 0: ao aproximar xto0 em M (com xneq0), f(x)to0neq f(0)=1. Equivalentemente, a preimagem de 0 é
1/n:nin N, que não é fechado em M pois seu ponto limite 0 não está incluído. Isso mostra que a continuidade de f não se garante quando usamos uma cobertura infinita de fechados.

Resposta

i) f é contínua em M.
ii) Com família infinita de fechados cobrindo M, f pode deixar de ser contínua (veja o contraexemplo acima).

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