Sejam
. Prove que (
) é subgrupo de (
) se, e somente se,
divide
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma afirmação exata:
- Dados
. - Consideram-se os subgrupos aditivos
e , ambos com a operação soma. - Pergunta: provar que
é subgrupo de se, e somente se, divide (ou seja, ).
Passo 2
Vamos lembrar definições e ideias que usaremos (explicando como se fosse uma aulinha curta):
- Definição de
: . É o conjunto de todos os inteiros múltiplos de . - Divisibilidade: dizemos
quando existe um inteiro tal que . - Definição de subgrupo (no caso aditivo): um subconjunto
de um grupo é subgrupo se (i) não é vazio, (ii) é fechado sob adição (se então ) e (iii) fechado sob inversos (se então ). No nosso caso, é conveniente usar que já é um subgrupo de para começar — mas o que nos interessa é a inclusão . - Estratégia: provar a equivalência exigindo duas implicações separadas:
- Se
é subgrupo de então . - Se
então é subgrupo de .
- Se
Passo 3
Prova da implicação 1:
- Se
é subgrupo de , então em particular . - Observe que
porque e . - Como
e , segue que . - Por definição de
, existir tal que . - Isso é exatamente a afirmação
. Portanto a implicação está provada.
Passo 4
Prova da implicação 2:
- Suponha
. Então existe tal que . - Queremos mostrar
. Tome um elemento arbitrário de , digamos com . - Usando
obtemos . - Como
, segue que . Como isso vale para todo , temos . - Agora,
é um subgrupo de (qualquer conjunto do tipo é subgrupo de ), e como segue imediatamente que é também subgrupo de . Explicando de forma direta: as operações de soma e inverso que verificam que é subgrupo de permanecem válidas quando consideramos apenas o conjunto maior , portanto satisfaz os axiomas de subgrupo dentro de . - Assim, provamos a segunda implicação.
Passo 5
Conclusão: juntando as duas implicações, temos a equivalência desejada:
é subgrupo de
se, e somente se,
.