Sejam m, n \in \mathbb{N}. Prove que ( m \mathbb{Z},+ ) é subgrupo de ( n \mathbb{Z},+ ) se, e somente se, n divide m.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma afirmação exata:
  • Dados m,n\in\mathbb{N}.
  • Consideram-se os subgrupos aditivos \,m\mathbb{Z}=\{m k \mid k\in\mathbb{Z}\}\, e \,n\mathbb{Z}=\{n\ell \mid \ell\in\mathbb{Z}\}\,, ambos com a operação soma.
  • Pergunta: provar que (m\mathbb{Z},+) é subgrupo de (n\mathbb{Z},+) se, e somente se, n divide m (ou seja, n\mid m).

Passo 2

Vamos lembrar definições e ideias que usaremos (explicando como se fosse uma aulinha curta):
  • Definição de m\mathbb{Z}: \,m\mathbb{Z}=\{m k \mid k\in\mathbb{Z}\}. É o conjunto de todos os inteiros múltiplos de m.
  • Divisibilidade: dizemos n\mid m quando existe um inteiro t tal que m=n t.
  • Definição de subgrupo (no caso aditivo): um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se (i) H não é vazio, (ii) é fechado sob adição (se a,b\in H então a+b\in H) e (iii) fechado sob inversos (se a\in H então -a\in H). No nosso caso, é conveniente usar que m\mathbb{Z} já é um subgrupo de (\mathbb{Z},+) para começar — mas o que nos interessa é a inclusão m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}.
  • Estratégia: provar a equivalência exigindo duas implicações separadas:
    1. Se (m\mathbb{Z},+) é subgrupo de (n\mathbb{Z},+) então n\mid m.
    2. Se n\mid m então (m\mathbb{Z},+) é subgrupo de (n\mathbb{Z},+).

Passo 3

Prova da implicação 1: \, (m\mathbb{Z},+)\le (n\mathbb{Z},+)\;\Rightarrow\; n\mid m.
  • Se (m\mathbb{Z},+) é subgrupo de (n\mathbb{Z},+), então em particular m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}.
  • Observe que m\in m\mathbb{Z} porque m=m\cdot 1 e 1\in\mathbb{Z}.
  • Como m\in m\mathbb{Z} e m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}, segue que m\in n\mathbb{Z}.
  • Por definição de n\mathbb{Z}, existir q\in\mathbb{Z} tal que m=n q.
  • Isso é exatamente a afirmação n\mid m. Portanto a implicação está provada.

Passo 4

Prova da implicação 2: \;n\mid m\;\Rightarrow\; (m\mathbb{Z},+)\le (n\mathbb{Z},+).
  • Suponha n\mid m. Então existe t\in\mathbb{Z} tal que m=n t.
  • Queremos mostrar m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}. Tome um elemento arbitrário de m\mathbb{Z}, digamos m k com k\in\mathbb{Z}.
  • Usando m=n t obtemos m k = (n t) k = n (t k).
  • Como t k\in\mathbb{Z}, segue que m k\in n\mathbb{Z}. Como isso vale para todo k, temos m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}.
  • Agora, m\mathbb{Z} é um subgrupo de (\mathbb{Z},+) (qualquer conjunto do tipo d\mathbb{Z} é subgrupo de (\mathbb{Z},+)), e como m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z} segue imediatamente que m\mathbb{Z} é também subgrupo de (n\mathbb{Z},+). Explicando de forma direta: as operações de soma e inverso que verificam que m\mathbb{Z} é subgrupo de \mathbb{Z} permanecem válidas quando consideramos apenas o conjunto maior n\mathbb{Z}, portanto m\mathbb{Z} satisfaz os axiomas de subgrupo dentro de n\mathbb{Z}.
  • Assim, provamos a segunda implicação.

Passo 5

Conclusão: juntando as duas implicações, temos a equivalência desejada: (m\mathbb{Z},+) é subgrupo de (n\mathbb{Z},+) se, e somente se, n\mid m.

Resposta

(m\mathbb{Z},+) é subgrupo de (n\mathbb{Z},+) se, e somente se, n\mid m.

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