Verifique que a união de subgrupos de um grupo
não é, em geral, subgrupo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede para verificar que a união de subgrupos de um grupo
não é, em geral, um subgrupo de . Ou seja, mostrar que nem sempre a união de subgrupos é fechada sob a operação do grupo (ou não satisfaz outra condição de subgrupo). - Informação dada: apenas a afirmação geral sobre “união de subgrupos”. Não há hipóteses extras. Então o caminho natural é apresentar um contraexemplo concreto e, se possível, explicar a situação geral (quando a união é subgrupo e quando não é).
Passo 2
Lembrando a definição de subgrupo (bem devagar, do jeito que facilita na prova):
- Um subconjunto
é subgrupo se satisfaz três coisas: -
não é vazio (normalmente verificamos que contém o elemento identidade). -
é fechado pela operação do grupo: para todo tem-se . (Aqui uso notação multiplicativa; se o grupo for aditivo, a condição é .) - Para todo
o inverso .
-
- Uma forma prática e muito usada: mostrar que
contém a identidade, é fechado por produto e por inverso (ou mostrar que para todo tem ). Esses critérios são equivalentes e fáceis de aplicar em exercícios.
Passo 3
Vou construir um contraexemplo simples e familiar (meio amigo, meio trapalhão): considere o grupo dos inteiros com adição, isto é
. Defina dois subgrupos:
-
(todos os pares), -
(todos os múltiplos de ).
Primeiro, verifico que cada um é subgrupo: - Ambos contêm
(identidade para a adição). - Se
então e ; inverso de é . O mesmo raciocínio vale para .
Portantoe são, de fato, subgrupos de .
Passo 4
Agora examine a união
. Vou mostrar que ela não é subgrupo porque falha a propriedade de fechamento pela operação. Tome elementos:
-
(pois ), portanto . -
(pois ), portanto .
Sefosse subgrupo, então a soma deveria pertencer a . Mas não é múltiplo de nem múltiplo de , isto é, e . Logo . Isso contradiz a hipótese de fechamento; portanto não é subgrupo. Assim mostramos, com este contraexemplo, que a união de subgrupos nem sempre é subgrupo.
Passo 5
Para deixar a coisa completa e útil na prova: qual é a condição necessária e suficiente para que a união de DOIS subgrupos seja subgrupo? Vou provar a afirmação útil: \emph{Se
e
são subgrupos de
, então
é subgrupo se, e somente se,
ou
.} Prova em duas direções:
Direção “se”: se
então
, que é subgrupo. Analogamente se
.
Direção “somente se”: suponha
é subgrupo. Se nem
nem
ocorressem, então existem
e
. Como
é subgrupo, em particular é fechado por produtos e inversos, então o elemento
pertence a
. Há dois casos:
-
Se
, então como também, tem-se (produto de elementos de ). Assim , contradizendo . -
Se
, então como temos , contradizendo .
Ambos os casos dão contradição. Portanto a hipótese de que nem um está contido no outro é impossível; logo devemos ter
ou
. Isso completa a prova da equivalência.
Passo 6
Resumo e moral (meio incentivo de amigo):
- A união de subgrupos não é, em geral, subgrupo — o contraexemplo
em mostra isso claramente porque a soma de um elemento de com um de pode sair da união. - A única situação em que a união de dois subgrupos é subgrupo é quando um deles está contido no outro; aí a união é justamente o maior deles.
Resposta
Um contraexemplo: em
os subgrupos
e
têm união que não é subgrupo, pois
,
mas
. Além disso, para dois subgrupos
vale:
é subgrupo se, e somente se,
ou
.