Verifique que a união de subgrupos de um grupo G não é, em geral, subgrupo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede para verificar que a união de subgrupos de um grupo G não é, em geral, um subgrupo de G. Ou seja, mostrar que nem sempre a união de subgrupos é fechada sob a operação do grupo (ou não satisfaz outra condição de subgrupo).
  • Informação dada: apenas a afirmação geral sobre “união de subgrupos”. Não há hipóteses extras. Então o caminho natural é apresentar um contraexemplo concreto e, se possível, explicar a situação geral (quando a união é subgrupo e quando não é).

Passo 2

Lembrando a definição de subgrupo (bem devagar, do jeito que facilita na prova):
  • Um subconjunto H\subseteq G é subgrupo se satisfaz três coisas:
    1. H não é vazio (normalmente verificamos que contém o elemento identidade).
    2. H é fechado pela operação do grupo: para todo a,b\in H tem-se ab\in H. (Aqui uso notação multiplicativa; se o grupo for aditivo, a condição é a+b\in H.)
    3. Para todo a\in H o inverso a^{-1}\in H.
  • Uma forma prática e muito usada: mostrar que H contém a identidade, é fechado por produto e por inverso (ou mostrar que para todo a,b\in H tem ab^{-1}\in H). Esses critérios são equivalentes e fáceis de aplicar em exercícios.

Passo 3

Vou construir um contraexemplo simples e familiar (meio amigo, meio trapalhão): considere o grupo dos inteiros com adição, isto é G=(\mathbb{Z},+). Defina dois subgrupos:
  • H = 2\mathbb{Z} = \{\,2k \mid k\in\mathbb{Z}\,\} (todos os pares),
  • K = 3\mathbb{Z} = \{\,3k \mid k\in\mathbb{Z}\,\} (todos os múltiplos de 3).
    Primeiro, verifico que cada um é subgrupo:
  • Ambos contêm 0 (identidade para a adição).
  • Se a,b\in 2\mathbb{Z} então a=2m, b=2n e a+b=2(m+n)\in 2\mathbb{Z}; inverso de a é -a=2(-m)\in 2\mathbb{Z}. O mesmo raciocínio vale para 3\mathbb{Z}.
    Portanto H e K são, de fato, subgrupos de \mathbb{Z}.

Passo 4

Agora examine a união H\cup K. Vou mostrar que ela não é subgrupo porque falha a propriedade de fechamento pela operação. Tome elementos:
  • 2\in H (pois 2=2\cdot1), portanto 2\in H\cup K.
  • 3\in K (pois 3=3\cdot1), portanto 3\in H\cup K.
    Se H\cup K fosse subgrupo, então a soma 2+3=5 deveria pertencer a H\cup K. Mas 5 não é múltiplo de 2 nem múltiplo de 3, isto é, 5\notin 2\mathbb{Z} e 5\notin 3\mathbb{Z}. Logo 5\notin H\cup K. Isso contradiz a hipótese de fechamento; portanto H\cup K não é subgrupo. Assim mostramos, com este contraexemplo, que a união de subgrupos nem sempre é subgrupo.

Passo 5

Para deixar a coisa completa e útil na prova: qual é a condição necessária e suficiente para que a união de DOIS subgrupos seja subgrupo? Vou provar a afirmação útil: \emph{Se H e K são subgrupos de G, então H\cup K é subgrupo se, e somente se, H\subseteq K ou K\subseteq H.} Prova em duas direções:
Direção “se”: se H\subseteq K então H\cup K = K, que é subgrupo. Analogamente se K\subseteq H.
Direção “somente se”: suponha H\cup K é subgrupo. Se nem H\subseteq K nem K\subseteq H ocorressem, então existem h\in H\setminus K e k\in K\setminus H. Como H\cup K é subgrupo, em particular é fechado por produtos e inversos, então o elemento hk^{-1} pertence a H\cup K. Há dois casos:
  • Se hk^{-1}\in H, então como h\in H também, tem-se k^{-1}=h^{-1}(hk^{-1})\in H (produto de elementos de H). Assim k=(k^{-1})^{-1}\in H, contradizendo k\notin H.
  • Se hk^{-1}\in K, então como k\in K temos h = (hk^{-1})k\in K, contradizendo h\notin K.
Ambos os casos dão contradição. Portanto a hipótese de que nem um está contido no outro é impossível; logo devemos ter H\subseteq K ou K\subseteq H. Isso completa a prova da equivalência.

Passo 6

Resumo e moral (meio incentivo de amigo):
  • A união de subgrupos não é, em geral, subgrupo — o contraexemplo 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z} em (\mathbb{Z},+) mostra isso claramente porque a soma de um elemento de 2\mathbb{Z} com um de 3\mathbb{Z} pode sair da união.
  • A única situação em que a união de dois subgrupos é subgrupo é quando um deles está contido no outro; aí a união é justamente o maior deles.

Resposta

Um contraexemplo: em G=(\mathbb{Z},+) os subgrupos 2\mathbb{Z} e 3\mathbb{Z} têm união que não é subgrupo, pois 2\in2\mathbb{Z}, 3\in3\mathbb{Z} mas 2+3=5\notin2\mathbb{Z}\cup3\mathbb{Z}. Além disso, para dois subgrupos H,K vale: H\cup K é subgrupo se, e somente se, H\subseteq K ou K\subseteq H.

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