Se
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
(ou seja, é um subgrupo de ); -
(ou seja, é um subgrupo de ); -
.
A pergunta é provar que
.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa
. Uma forma prática de dizer que
é subgrupo de
é:
é não-vazio e está fechado sob produto e inverso. Em outras palavras, para todo
vale
e para todo
vale
. Outra observação útil: se dois conjuntos são iguais então são propriedade idênticas; em particular, se
e
é subgrupo então
também é subgrupo.
Passo 3
Mostrarei que, sob a hipótese
, vale na verdade
Isso resolve o problema porque já sabemos que
.
Passo 4
Provar a igualdade por inclusões.
-
Inclusão
.
Qualquer elementopertence obviamente ao conjunto (definição de união). Logo . -
Inclusão
.
Se, então ou . Se já estamos feitos. Se , pela hipótese temos . Portanto, em qualquer caso . Assim .
Juntando as duas inclusões obtemos
.
Passo 5
Como
e foi dado que
, segue imediatamente que
.
Comentário didático rápido: a união de dois subgrupos nem sempre é subgrupo; o que faz a diferença aqui é a hipótese
. Se nenhum dos subgrupos estiver contido no outro, a união geralmente não é fechada (ex.: em
,
não é subgrupo).
Passo 6
Resumo do raciocínio que você pode usar na prova: ao ver
pense “a união é só o maior”, prove a igualdade por inclusões e use que o maior já é subgrupo.