Se H_{1}<G, H_{2}<G e H_{1} \subseteq H_{2}, prove que H_{1} \cup H_{2}<G.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • H_{1}<G (ou seja, H_{1} é um subgrupo de G);
  • H_{2}<G (ou seja, H_{2} é um subgrupo de G);
  • H_{1}\subseteq H_{2}.
A pergunta é provar que H_{1}\cup H_{2}<G.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa H<G. Uma forma prática de dizer que H é subgrupo de G é: H é não-vazio e está fechado sob produto e inverso. Em outras palavras, para todo x,y\in H vale xy\in H e para todo x\in H vale x^{-1}\in H. Outra observação útil: se dois conjuntos são iguais então são propriedade idênticas; em particular, se A=B e B é subgrupo então A também é subgrupo.

Passo 3

Mostrarei que, sob a hipótese H_{1}\subseteq H_{2}, vale na verdade
H_{1}\cup H_{2}=H_{2}.
Isso resolve o problema porque já sabemos que H_{2}<G.

Passo 4

Provar a igualdade por inclusões.
  1. Inclusão H_{2}\subseteq H_{1}\cup H_{2}.
    Qualquer elemento x\in H_{2} pertence obviamente ao conjunto H_{1}\cup H_{2} (definição de união). Logo H_{2}\subseteq H_{1}\cup H_{2}.
  2. Inclusão H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.
    Se x\in H_{1}\cup H_{2}, então x\in H_{1} ou x\in H_{2}. Se x\in H_{2} já estamos feitos. Se x\in H_{1}, pela hipótese H_{1}\subseteq H_{2} temos x\in H_{2}. Portanto, em qualquer caso x\in H_{2}. Assim H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.
Juntando as duas inclusões obtemos H_{1}\cup H_{2}=H_{2}.

Passo 5

Como H_{1}\cup H_{2}=H_{2} e foi dado que H_{2}<G, segue imediatamente que H_{1}\cup H_{2}<G.
Comentário didático rápido: a união de dois subgrupos nem sempre é subgrupo; o que faz a diferença aqui é a hipótese H_{1}\subseteq H_{2}. Se nenhum dos subgrupos estiver contido no outro, a união geralmente não é fechada (ex.: em S_{3}, \{e,(12)\}\cup\{e,(13)\} não é subgrupo).

Passo 6

Resumo do raciocínio que você pode usar na prova: ao ver H_{1}\subseteq H_{2} pense “a união é só o maior”, prove a igualdade por inclusões e use que o maior já é subgrupo.

Resposta

H_{1}\cup H_{2}<G

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