Sejam m e n inteiros positivos tais que deixam restos r_{1} \mathrm{e} r_{2} quando divididos pelo inteiro q. Prove que:
(a) m+n deixa resto r_{1}+r_{2} quando dividido pelo inteiro q
(b) m \times n deixa resto r_{1} \times r_{2} quando dividido pelo inteiro q.

Passo 1

O enunciado diz que, ao dividir m por q, o resto é r_{1} e, ao dividir n por q, o resto é r_{2}. Vamos usar o algoritmo da divisão, que nos permite escrever cada número como um múltiplo de q mais o resto, e daí deduzir o que sobra em soma e produto.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, existem inteiros k_{1} e k_{2} tais que
m = q\,k_{1} + r_{1}
n = q\,k_{2} + r_{2}
com 0 \le r_{1},r_{2}<q.

Passo 3

Somando as duas expressões, obtemos
m + n = \bigl(q\,k_{1} + r_{1}\bigr) + \bigl(q\,k_{2} + r_{2}\bigr) = q\,(k_{1} + k_{2}) + (r_{1} + r_{2}).
Como q\,(k_{1} + k_{2}) é múltiplo de q, o resto da divisão de m+n por q é justamente r_{1} + r_{2}.

Passo 4

Multiplicando as duas expressões, vem
m \times n = (q\,k_{1} + r_{1})(q\,k_{2} + r_{2}) = q\bigl(q\,k_{1}k_{2} + k_{1}r_{2} + k_{2}r_{1}\bigr) + r_{1}r_{2}.
De novo, o termo q(\dots) é divisível por q, então o resto da divisão de m\times n por q é r_{1}r_{2}.

Resposta

(a) O resto de m+n na divisão por q é r_{1}+r_{2}.
(b) O resto de m\times n na divisão por q é r_{1}\times r_{2}.

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