Ache o resto da divisão de 3^{10} \cdot 42^{5}+6^{8} por 5 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
3^{10}\cdot 42^{5} + 6^{8}
por 5. Vamos usar aritmética modular para calcular cada termo separadamente e depois somar os restos.

Passo 2

Calcular 3^{10}\mod5. Observando a sequência de potências de 3 módulo 5 temos ciclo de período 4:
3^1\equiv3,\quad 3^2\equiv9\equiv4,\quad 3^3\equiv4\cdot3\equiv12\equiv2,\quad 3^4\equiv2\cdot3\equiv6\equiv1\pmod{5}.
Como 10\equiv2\pmod{4},
3^{10}\equiv3^2\equiv4\pmod{5}.

Passo 3

Calcular 42^{5}\mod5. Note que 42\equiv2\pmod{5}, logo
42^{5}\equiv2^{5}=32\equiv2\pmod{5}.

Passo 4

Multiplicando os restos obtidos:
3^{10}\cdot42^{5}\equiv4\cdot2=8\equiv3\pmod{5}.

Passo 5

Calcular 6^{8}\mod5. Como 6\equiv1\pmod{5},
6^{8}\equiv1^{8}=1\pmod{5}.

Passo 6

Somando os restos dos dois termos:
3 + 1 = 4\pmod{5}.

Resposta

O resto da divisão é 4.

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