Sejam
e
inteiros positivos tais que deixam restos
quando divididos pelo inteiro
. Prove que:
(a)
deixa resto
quando dividido pelo inteiro
(b)
deixa resto
quando dividido pelo inteiro
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado diz que, ao dividir
por
, o resto é
e, ao dividir
por
, o resto é
. Vamos usar o algoritmo da divisão, que nos permite escrever cada número como um múltiplo de
mais o resto, e daí deduzir o que sobra em soma e produto.
Passo 2
Pelo algoritmo da divisão, existem inteiros
e
tais que
com
.
Passo 3
Somando as duas expressões, obtemos
Como
é múltiplo de
, o resto da divisão de
por
é justamente
.
Passo 4
Multiplicando as duas expressões, vem
De novo, o termo
é divisível por
, então o resto da divisão de
por
é
.
Resposta
(a) O resto de
na divisão por
é
.
(b) O resto de na divisão por
é
.
(b) O resto de