Sejam m, n naturais. Dizemos que m >= n quando m=n+a para algum inteiro a. Prove as seguintes propriedades:
Se m >= n e n >= m, então m=n.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que, se dois números naturais e satisfazem e , então necessariamente . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de números naturais e relações de ordem. Para resolver isso, vamos usar a definição dada de , que significa que para algum inteiro .

Passo 2

Primeiro, sabemos que m = n + a . Pela definição, isso significa que existe um inteiro tal que:
Isso quer dizer que é igual a mais algum inteiro .

Passo 3

Também sabemos que n = m + b . Usando a mesma definição, existe um inteiro tal que:
Então, é igual a mais algum inteiro .

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de n = (n + a) + b da primeira equação na segunda. Ou seja, substituímos na equação :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
n = n + a + b
Agora, subtraímos 0 = a + b de ambos os lados:
Isso significa que , ou seja, .

Passo 6

Voltando à primeira equação m = n + a e sabendo que n = m + b = m - a , podemos ver que:
n = (n + a) - a
n = n
Substituindo da primeira equação na segunda:
Isso confirma que as equações são consistentes apenas se .

Passo 7

Se m = n + 0 , então:
m = n
Portanto, mostramos que deve ser igual a .

Resposta

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