Sejam
naturais. Dizemos que
quando
para algum inteiro
. Prove as seguintes propriedades:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que, se dois números naturais
e
satisfazem
e
, então necessariamente
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de números naturais e relações de ordem. Para resolver isso, vamos usar a definição dada de
, que significa que
para algum inteiro
.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Pela definição, isso significa que existe um inteiro
tal que:
Isso quer dizer que
é igual a
mais algum inteiro
.
Passo 3
Também sabemos que
. Usando a mesma definição, existe um inteiro
tal que:
Então,
é igual a
mais algum inteiro
.
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de
da primeira equação na segunda. Ou seja, substituímos
na equação
:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Isso significa que
, ou seja,
.
Passo 6
Voltando à primeira equação
e sabendo que
, podemos ver que:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Isso confirma que as equações são consistentes apenas se
.
Passo 7
Se
, então:
Portanto, mostramos que
deve ser igual a
.