Prove que para quaisquer naturais
vale:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que, para quaisquer números naturais
, a soma deles não se importa de como a gente agrupa:
. Isso é o que chamamos de propriedade associativa da adição. Para provar isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica super útil para mostrar que algo é verdadeiro para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a propriedade funciona quando
. Isso é importante para a base da indução.
E
Como
, vemos que
. A propriedade funciona para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a propriedade funciona para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Com base nisso, precisamos provar que a propriedade também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos verificar para
:
Pelo jeito que definimos a adição, sabemos que:
Agora, vamos reescrever isso agrupando
primeiro:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
. Então:
E isso é igual a:
Assim, mostramos que:
Portanto, a propriedade é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para quaisquer números naturais
, vale: