Prove que para quaisquer naturais n, m, p vale:
n+(m+p)=(n+m)+p

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que, para quaisquer números naturais , a soma deles não se importa de como a gente agrupa: . Isso é o que chamamos de propriedade associativa da adição. Para provar isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica super útil para mostrar que algo é verdadeiro para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a propriedade funciona quando 0 + (m + p) = m + p . Isso é importante para a base da indução.
(0 + m) + p = m + p
E
Como , vemos que . A propriedade funciona para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a propriedade funciona para algum número natural k + (m + p) = (k + m) + p . Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Com base nisso, precisamos provar que a propriedade também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos verificar para (k + 1) + (m + p) :
(k + 1) + (m + p) = k + 1 + m + p
Pelo jeito que definimos a adição, sabemos que:
k + (m + 1) + p
Agora, vamos reescrever isso agrupando (k + m) + 1 + p primeiro:
(k + m) + (1 + p) = (k + m) + p + 1 = (k + m + p) + 1 = (k + m) + p + 1
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que (k + 1) + (m + p) = (k + m) + p + 1 = ((k + m) + p) + 1 = (k + m + p) + 1 = (k + m) + (p + 1) . Então:
E isso é igual a:
Assim, mostramos que:
Portanto, a propriedade é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para quaisquer números naturais n + (m + p) = (n + m) + p , vale:

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