Sejam
. Mostre que:
e
Passo 1
O enunciado diz que temos três números naturais
e que queremos provar a transitividade da desigualdade: se
e
, então
. Vamos usar a definição de
em
baseada em soma com número natural positivo.
Passo 2
Pela definição de
em
,
significa que existe um natural positivo
(isto é,
) tal que
De modo análogo,
significa que existe um natural positivo
(isto é,
) com
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, temos
usando a associatividade da adição em
.
Passo 4
Como
e
, sua soma
também é um natural maior ou igual a 2, logo é estritamente positivo. Isso mostra que existe um natural positivo (no caso,
) tal que
ou seja,
pela definição de desigualdade em
.
Resposta
m<p