Sejam m, n, p in N. Mostre que:
m e n

Passo 1

O enunciado diz que temos três números naturais m,n,p e que queremos provar a transitividade da desigualdade: se m e n, então m. Vamos usar a definição de < em N baseada em soma com número natural positivo.

Passo 2

Pela definição de < em N, m significa que existe um natural positivo k (isto é, k>=1) tal que
n = m + k
De modo análogo, n significa que existe um natural positivo ell (isto é, ell>=1) com
p = n + ell

Passo 3

Substituindo n = m+k na expressão de p, temos
p = (m + k) + ell = m + (k + ell),
usando a associatividade da adição em N.

Passo 4

Como k>=1 e ell>=1, sua soma k+ell também é um natural maior ou igual a 2, logo é estritamente positivo. Isso mostra que existe um natural positivo (no caso, k+ell) tal que
p = m + (k+ell),
ou seja, m pela definição de desigualdade em N.

Resposta

m<p

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