Demonstrar que se f é contínua em a, então |f| também o é.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f é contínua em um ponto a, então a função composta |f|, definida por |f|(x)=|f(x)|, também é contínua em a. Vamos usar definição varepsilon- de e a propriedade da desigualdade triangular para valores absolutos.

Passo 2

Para começar, lembramos a desigualdade fundamental para valores absolutos: para quaisquer números reais u e v, vale
l|,|u|-|v|r|<=|u-v|
Essa desigualdade nos permite controlar a diferença |f(x)|-|f(a)| em termos de f(x)-f(a).

Passo 3

Agora, como f é contínua em a, dado qualquer varepsilon>0 existe de0 tal que
|x-a|
Então, sempre que |x-a|, aplicamos a desigualdade anterior com u=f(x) e v=f(a):
l|,|f(x)|-|f(a)|r|<=|f(x)-f(a)|
Isso mostra exatamente que, para o mesmo de, temos
|f|,
o que é a definição de continuidade de a em .

Resposta

Portanto, |f| é contínua em a.

Exercícios relacionados