Demonstrar que se é contínua em , então também o é.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função é contínua em um ponto , então a função composta , definida por , também é contínua em . Vamos usar definição - e a propriedade da desigualdade triangular para valores absolutos.
Passo 2
Para começar, lembramos a desigualdade fundamental para valores absolutos: para quaisquer números reais e , vale
Essa desigualdade nos permite controlar a diferença |f(x)|-|f(a)| em termos de f(x)-f(a).
Passo 3
Agora, como f é contínua em a, dado qualquer varepsilon>0 existe de0 tal que
|x-a|
Então, sempre que |x-a|, aplicamos a desigualdade anterior com u=f(x) e v=f(a):
l|,|f(x)|-|f(a)|r|<=|f(x)-f(a)|
Isso mostra exatamente que, para o mesmo de, temos |f|,
o que é a definição de continuidade de a em .