Use o exercício anterior para mostrar que lim x 0 raiz|x| cdot sen 1x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 0 raiz|x| cdot sin (1x). Esse exercício envolve o cálculo de limites e utiliza a propriedade da função seno, que é uma função oscilante. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses componentes se comportam quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, sin, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1x) <= 1
Isso é importante porque nos dá um intervalo para multiplicar pela outra parte da função.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa desigualdade por raiz|x|. Como raiz|x| é sempre positivo, a desigualdade mantém sua direção:
-raiz|x| <= raiz|x| cdot sin(1x) <= raiz|x|
Isso cria duas “barras” para a nossa função.

Passo 4

Em seguida, analisamos o comportamento de raiz|x| quando x se aproxima de 0. Sabemos que:
limx 0 raiz|x| = 0
Então, tanto -raiz|x| quanto raiz|x| vão para 0 quando x se aproxima de 0.

Passo 5

Utilizamos o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão), que diz que se uma função está sempre entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Nesse caso:
limx 0 -raiz|x| = 0 e limx 0 raiz|x| = 0
Portanto, pela regra:
limx 0 raiz|x| cdot sin(1x) = 0

Resposta

limx 0 raiz|x| cdot sin(1x) = 0

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