Use o exercício anterior para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o cálculo de limites e utiliza a propriedade da função seno, que é uma função oscilante. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses componentes se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso é importante porque nos dá um intervalo para multiplicar pela outra parte da função.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo, a desigualdade mantém sua direção:
Isso cria duas “barras” para a nossa função.
Passo 4
Em seguida, analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Então, tanto
quanto
vão para 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Utilizamos o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão), que diz que se uma função está sempre entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Nesse caso:
Portanto, pela regra: