Sejam
e
. Mostre que o conjunto
é LI, mas não é uma base de
. Sabendo que o espaço vetorial
tem dimensão 3, pelo Teorema do Completamento, podemos obter um polinômio
tal que
é uma base de
. Encontre um polinômio
que satisfaça
ser base de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
, com
, e o conjunto
. Precisamos mostrar que
é linearmente independente, mas não gera todo
(logo não é base), e em seguida usar o Teorema do Completamento para encontrar um polinômio
tal que
seja uma base de
.
Passo 2
Para ver que
é linearmente independente, considere a combinação linear nula
Comparando coeficientes de
e
, obtemos
constante: ,
:
,
:
.
Logo é a única solução, e
é LI.
constante:
Logo
Passo 3
Como
e
, não é possível que
gere todo o espaço (uma base de
teria exatamente 3 vetores). Assim,
não é base de
.
Passo 4
Pelo Teorema do Completamento, basta adicionar um polinômio
fora do span de
. Uma escolha simples é
pois se existisse
tais que
então, comparando coeficientes, teríamos
pela parte constante e
pela parte em
, contradição. Logo
.
Passo 5
Agora
tem 3 vetores. Para ver que é LI, considere
Comparando coeficientes, vem
, depois
e
. Assim é LI e, por ter 3 elementos em
de dimensão 3, gera
. Portanto é base.