Sejam V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) e B=\left\{1+t, t^{2}\right\}. Mostre que o conjunto B é LI, mas não é uma base de V. Sabendo que o espaço vetorial V tem dimensão 3, pelo Teorema do Completamento, podemos obter um polinômio \tilde{p}(t) tal que B^{\prime}=\left\{\tilde{p}(t), 1+t, t^{2}\right\} é uma base de V. Encontre um polinômio \tilde{p}(t) que satisfaça B^{\prime} ser base de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), com \dim V=3, e o conjunto B=\{1+t,\;t^{2}\}. Precisamos mostrar que B é linearmente independente, mas não gera todo V (logo não é base), e em seguida usar o Teorema do Completamento para encontrar um polinômio \tilde p(t) tal que
B'=\{\tilde p(t),\;1+t,\;t^2\}
seja uma base de V.

Passo 2

Para ver que B é linearmente independente, considere a combinação linear nula
a\,(1+t) \;+\; b\,t^2 \;=\; 0.
Comparando coeficientes de 1,\;t e t^2, obtemos
constante: a=0, t: a=0, t^2: b=0.
Logo a=b=0 é a única solução, e B é LI.

Passo 3

Como \dim V=3 e \lvert B\rvert=2, não é possível que B gere todo o espaço (uma base de V teria exatamente 3 vetores). Assim, B não é base de V.

Passo 4

Pelo Teorema do Completamento, basta adicionar um polinômio \tilde p(t) fora do span de B. Uma escolha simples é
\tilde p(t)=t,
pois se existisse a,b tais que
a(1+t) + b\,t^2 = t
então, comparando coeficientes, teríamos a=0 pela parte constante e a=1 pela parte em t, contradição. Logo t\notin\operatorname{span}B.

Passo 5

Agora \{\tilde p(t),\,1+t,\,t^2\}=\{t,\;1+t,\;t^2\} tem 3 vetores. Para ver que é LI, considere
\alpha\,t + \beta\,(1+t) + \gamma\,t^2 = 0.
Comparando coeficientes, vem \beta=0, depois \alpha=0 e \gamma=0. Assim é LI e, por ter 3 elementos em V de dimensão 3, gera V. Portanto é base.

Resposta

\displaystyle \tilde p(t) = t

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