Encontre as coordenadas do vetor v=(4,3) \in \mathbb{R}^{2} com relação às bases
B=\{(1,0),(0,1)\} \quad \text { e } \quad B^{\prime}=\{(1,1),(2,5)\}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor v=(4,3) em duas bases de \mathbb{R}^{2}: a base padrão
B=\{(1,0),(0,1)\}
e a base
B'=\{(1,1),(2,5)\}.
O conteúdo é coordenadas de um vetor em diferentes bases; na base padrão basta ler as componentes, e na base B' precisamos resolver uma combinação linear.

Passo 2

Para a base padrão B, as coordenadas de v são exatamente suas componentes no plano. Logo,
[v]_{B}=(4,3).

Passo 3

Para achar [v]_{B'}, escrevemos
(4,3)=\alpha\,(1,1)+\beta\,(2,5) =(\alpha+2\beta,\;\alpha+5\beta).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta=4,\\\ \alpha+5\beta=3. \end{cases}

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda temos
(\alpha+5\beta)-(\alpha+2\beta)=3-4 \quad\Longrightarrow\quad 3\beta=-1 \quad\Longrightarrow\quad \beta=-\tfrac{1}{3}.
Então
\alpha=4-2\beta=4-2\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=4+\tfrac{2}{3}=\tfrac{14}{3}.
Logo
[v]_{B'}=\bigl(\tfrac{14}{3},\,-\tfrac{1}{3}\bigr).

Resposta

[v]_{B}=(4,3) [v]_{B'}=(\tfrac{14}{3},\,-\tfrac{1}{3})

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