Sejam p=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3} e q=b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+b_{3} t^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}) a relação
\langle p, q\rangle=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}
define um produto escalar em P_{3}(\mathbb{R}).
Dados p=2+3 t-t^{2} e q=2 t+t^{2}-5 t^{3}. Calcule \langle p, q\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar \langle p,q\rangle dado pela regra
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
As informações dadas são os polinômios
p=2+3t-t^{2}
e
q=2t+t^{2}-5t^{3}.
O objetivo: aplicar a fórmula do produto escalar usando os coeficientes de p e q.

Passo 2

Vou explicar a ideia básica que vamos usar: a expressão do produto escalar acima é exatamente o produto escalar entre os vetores de coeficientes dos polinômios. Ou seja, se associarmos a p o vetor (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}) e a q o vetor (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}), então \langle p,q\rangle é a soma dos produtos termo a termo desses coeficientes. Isso facilita porque basta identificar os coeficientes e multiplicá‑los pareados.

Passo 3

Identificamos os coeficientes de p. Escrever p completando o termo de grau 3:
p = 2 + 3t - t^{2} + 0\cdot t^{3}.
Portanto
a_{0}=2,\quad a_{1}=3,\quad a_{2}=-1,\quad a_{3}=0.

Passo 4

Identificamos os coeficientes de q. Escrever q completando o termo de grau 0:
q = 0 + 2t + 1\cdot t^{2} -5t^{3}.
Portanto
b_{0}=0,\quad b_{1}=2,\quad b_{2}=1,\quad b_{3}=-5.

Passo 5

Calculamos os produtos termo a termo:
a_{0}b_{0}=2\cdot 0 = 0,
a_{1}b_{1}=3\cdot 2 = 6,
a_{2}b_{2}=(-1)\cdot 1 = -1,
a_{3}b_{3}=0\cdot(-5) = 0.

Passo 6

Somamos os resultados anteriores para obter o produto escalar:
\langle p,q\rangle = 0 + 6 + (-1) + 0 = 5.

Resposta

5

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