Em \mathbb{R}^{2} consideremos as bases A=\{(1,0),(0,1)\}, \quad B=\{(2,0),(1,3)\} \quad e \quad C=\{(1,-3),(2,4)\}. Achar o vetor coordenada de v=(5,3) em relação as base A, B e C.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as coordenadas de v=(5,3) em relação às bases A, B e C.
Dados fornecidos:
A=\{(1,0),(0,1)\},\qquad B=\{(2,0),(1,3)\},\qquad C=\{(1,-3),(2,4)\},
e
v=(5,3).
Então temos que determinar, para cada base, escalares (coordenas) tais que a combinação linear dos vetores da base dá v.

Passo 2

O que significa “coordenadas de v em relação a uma base”?
Significa encontrar escalares a,b (ou \alpha,\beta, ou \gamma,\delta) tais que
v = a\cdot u_1 + b\cdot u_2,
onde u_1,u_2 são os vetores da base considerada. Esses escalares (a,b) são as coordenadas de v nessa base. Como cada conjunto dado é uma base de \mathbb{R}^2, existe uma e somente uma forma de escrever v assim — as coordenadas são únicas.

Passo 3

Coordenadas de v na base A.
A base A é a base canônica: (1,0) e (0,1). Escrever v como combinação desses vetores é trivial:
v = 5\cdot(1,0) + 3\cdot(0,1).
Portanto as coordenadas de v em relação a A são (5,3).

Passo 4

Coordenadas de v\) na base \(B\). Queremos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha\cdot(2,0) + \beta\cdot(1,3) = (5,3).
Isto gera um sistema para \alpha,\beta. Separando coordenadas:
\begin{cases} 2\alpha + \beta = 5,\\[4pt] 0\alpha + 3\beta = 3. \end{cases}
Da segunda equação temos imediatamente \beta = \dfrac{3}{3} = 1\]. Substituindo na primeira: \[2\alpha + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha = 4 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 2.\] Portanto as coordenadas de \(v em relação a B são (2,1).]

Passo 5

Coordenadas de v\) na base \(C\). Queremos \(\gamma,\delta\) tais que \[\gamma\cdot(1,-3) + \delta\cdot(2,4) = (5,3).
Isto dá o sistema
\begin{cases} \gamma + 2\delta = 5,\\[4pt] -3\gamma + 4\delta = 3. \end{cases}
Vou usar eliminação (método básico para sistemas 2×2). Multiplico a primeira equação por 3\] para obter coeficientes opostos em \(\gamma:
3\gamma + 6\delta = 15.
Agora somo essa equação com a segunda (que é -3\gamma + 4\delta = 3):
(3\gamma - 3\gamma) + (6\delta + 4\delta) = 15 + 3 \quad\Rightarrow\quad 10\delta = 18.
Logo
\delta = \dfrac{18}{10} = \dfrac{9}{5}.
Substituo \delta na primeira equação \gamma + 2\delta = 5:
\gamma + 2\cdot\dfrac{9}{5} = 5 \quad\Rightarrow\quad \gamma + \dfrac{18}{5} = \dfrac{25}{5}
\Rightarrow\quad \gamma = \dfrac{25}{5} - \dfrac{18}{5} = \dfrac{7}{5}.
Para checar (sempre bom verificar):
\gamma(1,-3)+\delta(2,4)=\left(\dfrac{7}{5}+2\cdot\dfrac{9}{5},\; -3\cdot\dfrac{7}{5}+4\cdot\dfrac{9}{5}\right)=\left(\dfrac{25}{5},\dfrac{15}{5}\right)=(5,3),
ok. Portanto as coordenadas de v em relação a C são \left(\dfrac{7}{5},\dfrac{9}{5}\right).]

Resposta

Coordenadas de v em A: (5,3)
Coordenadas de v em B: (2,1)
Coordenadas de v em C: \left(\dfrac{7}{5},\dfrac{9}{5}\right)

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