Em
consideremos as bases
e
. Achar o vetor coordenada de
em relação as base
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as coordenadas de
em relação às bases
,
e
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
e
Então temos que determinar, para cada base, escalares (coordenas) tais que a combinação linear dos vetores da base dá
.
Passo 2
O que significa “coordenadas de
em relação a uma base”?
Significa encontrar escalares (ou
, ou
) tais que
Significa encontrar escalares
onde
são os vetores da base considerada. Esses escalares
são as coordenadas de
nessa base. Como cada conjunto dado é uma base de
, existe uma e somente uma forma de escrever
assim — as coordenadas são únicas.
Passo 3
Coordenadas de
na base
.
A base é a base canônica:
e
. Escrever
como combinação desses vetores é trivial:
A base
Portanto as coordenadas de
em relação a
são
.
Passo 4
Coordenadas de
Isto gera um sistema para
. Separando coordenadas:
Da segunda equação temos imediatamente
em relação a
são
.]
Passo 5
Coordenadas de
Isto dá o sistema
Vou usar eliminação (método básico para sistemas 2×2). Multiplico a primeira equação por
:
Agora somo essa equação com a segunda (que é
):
Logo
Substituo
na primeira equação
:
Para checar (sempre bom verificar):
ok. Portanto as coordenadas de
em relação a
são
.]
Resposta
Coordenadas de
em
:
Coordenadas de em
:
Coordenadas de em
:
Coordenadas de
Coordenadas de