Sejam
, mostre que:
a)
, com
raiz de
, é solução da equação ay’ + by = 0.
b)
, com
raiz de
, é solução da equação
.
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo com os dados em
).
- Dados gerais:
. - Parte (a): a função candidata é
, onde é raiz da equação . O que pedir: mostrar que essa é solução da equação diferencial
- Parte (b): a função candidata é
, onde é raiz da equação quadrática
O que pedir: mostrar que essa
é solução da equação diferencial
Passo 2
Entendendo a ideia geral (uma pequena aula sobre a estratégia que será usada).
Quando temos uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes (ou com formas que admitem a substituição ), uma técnica padrão é testar soluções do tipo exponencial
ou potências
. A razão é que derivando essas funções elas retornam a mesma forma multiplicada por constantes envolvendo
, permitindo reduzir a equação diferencial à condição algébrica (a chamada equação característica) sobre
. Aqui o enunciado já dá a equação característica; vamos verificar que, substituindo a função dada e usando as fórmulas de derivação, obtemos de fato zero.
Quando temos uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes (ou com formas que admitem a substituição
Passo 3
Parte (a): derivada de
e substituição.
- Regra usada: a derivada da função exponencial é proporcional à própria exponencial. Mais precisamente, para
constante,
Aqui
é o parâmetro (a raiz da equação
). Aplicando:
Substituindo na equação diferencial
obtemos
Colocando
em fator comum:
Pelo enunciado sabemos que
é raiz de
, isto é,
. Portanto
para todo
. Conclusão:
satisfaz a equação
. (Observação prática: isso exige apenas que
seja definida — o que é sempre verdade para
e
.)
Passo 4
Comentário pedagógico curto sobre a parte (a).
- O passo essencial foi usar
e fatorar . - A equação característica
aparece exatamente porque exigimos que o coeficiente do fator seja zero. - Assim, a ideia é sempre: testar a forma
, derivar, substituir e reduzir a ODE a uma condição algébrica sobre .
Passo 5
Parte (b): derivadas de
e domínio.
- Primeiro, um aviso sobre domínio: para
geral, a função é bem definida e real para . Se for inteiro, pode ser qualquer real diferente de zero (ou zero dependendo de ). Para evitar discussões técnicas, adotamos (caso usual quando se trabalha com potências reais não inteiras). - Regra usada: a regra do poder (power rule) para expoentes constantes: para
constante,
Aplicando essas fórmulas obtemos
Passo 6
Substituição em
.
Calcule cada termo multiplicado pelo fator indicado:
Calcule cada termo multiplicado pelo fator indicado:
Somando os três termos da equação diferencial:
Fatorando
em comum:
Passo 7
Simplificação do polinômio em
e uso da equação característica.
Desenvolvendo obtemos
Desenvolvendo
Pelo enunciado
é raiz da equação quadrática
Logo o fator entre parênteses é zero. Portanto
para todo
(domínio onde
é bem definida como número real quando
real). Conclusão:
satisfaz a equação diferencial dada sempre que
for raiz de
.
Passo 8
Comentário pedagógico curto sobre a parte (b).
- A técnica usada foi análoga à do caso exponencial: derivar a forma testada
, substituir, fatorar e obter uma condição algébrica (a equação característica quadrática) que garante que o coeficiente seja zero. - Atenção ao domínio: para
real não inteiro, pede-se para que seja real. Para inteiro não há essa restrição (exceto, possivelmente, em dependendo de ).
Resposta
a)
é solução de
quando
satisfaz
b) é solução de
quando
satisfaz
b)