Sejam
, mostre que:
a)
com
raiz de
, é solução da equação ay’ + by = 0.
a)
Passo 1
O enunciado pede claramente para mostrar que a função
, onde
é raiz da equação
, é solução da equação diferencial
Informações dadas:
-
. -
satisfaz . - A função proposta é
.
Passo 2
Lembrete útil (mini-aula): derivada da exponencial composta.
Seja uma função com
constante. A regra da cadeia diz que a derivada em relação a
é o fator interno multiplicando a exponencial. Em fórmulas:
Seja uma função
Explicação simples: a exponencial cresce multiplicativamente e o fator
ajusta a taxa de crescimento por unidade de
.
Passo 3
Aplicando esse resultado à nossa
, obtemos a derivada:
Aqui cada símbolo está em TeX:
é a derivada,
é a constante dada, e
é a própria exponencial.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
. Fazendo isso:
Fatorando
(que é comum nos dois termos):
Passo 5
Agora usamos a hipótese do enunciado:
é raiz de
. Isso significa exatamente que
. Substituindo nessa expressão:
Observação didática:
nunca é zero para
, então a nulidade do produto vem unicamente de
.
Passo 6
Como a substituição produziu zero para todo
, concluímos que
satisfaz a equação diferencial
. Em linguagem prática: tentar uma solução do tipo exponencial leva à chamada equação característica
; as raízes dessa equação característica geram soluções exponenciais da equação diferencial.