Sejam \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \Re, mostre que:
a) \mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathbf{e}^{\mathbf{r t}}\, com r raiz de \mathbf{a r}+\mathbf{b}=0, é solução da equação ay’ + by = 0.

Passo 1

O enunciado pede claramente para mostrar que a função \mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}, onde \mathbf{r} é raiz da equação \mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}=0, é solução da equação diferencial
\mathbf{a}\,\mathbf{y}'(\mathbf{t})+\mathbf{b}\,\mathbf{y}(\mathbf{t})=0.
Informações dadas:
  • \mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}.
  • \mathbf{r} satisfaz \mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}=0.
  • A função proposta é \mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}.

Passo 2

Lembrete útil (mini-aula): derivada da exponencial composta.
Seja uma função g(\mathbf{t})=\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} com \mathbf{r} constante. A regra da cadeia diz que a derivada em relação a \mathbf{t} é o fator interno multiplicando a exponencial. Em fórmulas:
\frac{d}{d\mathbf{t}}\bigl(\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}\bigr)=\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}.
Explicação simples: a exponencial cresce multiplicativamente e o fator \mathbf{r} ajusta a taxa de crescimento por unidade de \mathbf{t}.

Passo 3

Aplicando esse resultado à nossa \mathbf{y}(\mathbf{t}), obtemos a derivada:
\mathbf{y}'(\mathbf{t})=\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}.
Aqui cada símbolo está em TeX: \mathbf{y}'(\mathbf{t}) é a derivada, \mathbf{r} é a constante dada, e \mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} é a própria exponencial.

Passo 4

Substituímos \mathbf{y} e \mathbf{y}' na equação diferencial \mathbf{a}\,\mathbf{y}'+\mathbf{b}\,\mathbf{y}=0. Fazendo isso:
\mathbf{a}\,\mathbf{y}'(\mathbf{t})+\mathbf{b}\,\mathbf{y}(\mathbf{t}) = \mathbf{a}\bigl(\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}\bigr)+\mathbf{b}\bigl(\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}\bigr).
Fatorando \mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} (que é comum nos dois termos):
\mathbf{a}\,\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}+\mathbf{b}\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} = \bigl(\mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}\bigr)\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}}.

Passo 5

Agora usamos a hipótese do enunciado: \mathbf{r} é raiz de \mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}=0. Isso significa exatamente que \mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}=0. Substituindo nessa expressão:
\bigl(\mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}\bigr)\,\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} = 0\cdot\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} = 0.
Observação didática: \mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} nunca é zero para \mathbf{t}\in\mathbb{R}, então a nulidade do produto vem unicamente de \mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}=0.

Passo 6

Como a substituição produziu zero para todo \mathbf{t}, concluímos que \mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} satisfaz a equação diferencial \mathbf{a}\,\mathbf{y}'+\mathbf{b}\,\mathbf{y}=0. Em linguagem prática: tentar uma solução do tipo exponencial leva à chamada equação característica \mathbf{a}\mathbf{r}+\mathbf{b}=0; as raízes dessa equação característica geram soluções exponenciais da equação diferencial.

Resposta

\mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathrm{e}^{\mathbf{r}\mathbf{t}} com \mathbf{r}=-\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} é solução da equação \mathbf{a}\,\mathbf{y}'+\mathbf{b}\,\mathbf{y}=0.

Exercícios relacionados