Sejam
,
e f(t)=t^{3}). Determine:
e f(t)=t^{3}). Determine:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
(esta função aparece no enunciado mas não é necessária para o cálculo pedido).
O que é pedido: - Calcular
, ou seja, a derivada do produto escalar avaliada em .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a regra da derivada do produto escalar.
Explicação didática da regra: escrevendo o produto escalar componente a componente,
Explicação didática da regra: escrevendo o produto escalar componente a componente,
Aplicando a regra do produto para cada termo escalar obtemos
Agrupando soma de duas somas isto dá a forma compacta
Motivo da escolha: essa fórmula evita multiplicar tudo primeiro e depois derivar; é direta e baseada na regra do produto aplicada componente a componente — é a maneira mais simples e segura para vetores.
Passo 3
Calcular as derivadas componentes necessárias.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
- Para
temos
Aqui usei que
,
e
.
- Para
temos
Aqui
,
,
.
Passo 4
Calcular os dois produtos escalares da fórmula
.
Primeiro
:
Portanto
Segundo
:
Portanto
Passo 5
Somando as duas parcelas obtemos a derivada geral:
Podemos organizar um pouco:
Passo 6
Avaliar em
. Substituindo
em cada termo:
Somando tudo:
Simplificando os termos racionais: