Sejam
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln (1+t)\right),
\mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right)
e f(t)=t^{3}). Determine:
\left.(\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t))^{\prime}\right|_{t=1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln(1+t)\right).
  • \mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right).
  • f(t)=t^{3} (esta função aparece no enunciado mas não é necessária para o cálculo pedido).
    O que é pedido:
  • Calcular \left.(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t))^{\prime}\right|_{t=1}, ou seja, a derivada do produto escalar \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} avaliada em t=1.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a regra da derivada do produto escalar.
Explicação didática da regra: escrevendo o produto escalar componente a componente,
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t)=\sum_{i=1}^{3} r_i(t)s_i(t).
Aplicando a regra do produto para cada termo escalar obtemos
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)=\sum_{i=1}^{3}\big(r_i'(t)s_i(t)+r_i(t)s_i'(t)\big).
Agrupando soma de duas somas isto dá a forma compacta
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)=\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{s}(t)+\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}'(t).
Motivo da escolha: essa fórmula evita multiplicar tudo primeiro e depois derivar; é direta e baseada na regra do produto aplicada componente a componente — é a maneira mais simples e segura para vetores.

Passo 3

Calcular as derivadas componentes necessárias.
Derivando componente a componente:
  • Para \mathbf{r}(t)=\big(t^{2},e^{t},\ln(1+t)\big) temos
\mathbf{r}'(t)=\big(2t,\;e^{t},\;\tfrac{1}{1+t}\big).
Aqui usei que \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t, \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t} e \dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t}.
  • Para \mathbf{s}(t)=\big(1,t,t^{2}\big) temos
\mathbf{s}'(t)=\big(0,\;1,\;2t\big).
Aqui \dfrac{d}{dt}1=0, \dfrac{d}{dt}t=1, \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.

Passo 4

Calcular os dois produtos escalares da fórmula \mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'.
Primeiro \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{s}(t):
\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{s}(t)= (2t)\cdot 1 + (e^{t})\cdot t + \left(\tfrac{1}{1+t}\right)\cdot t^{2}.
Portanto
\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{s}(t)=2t + t e^{t} + \frac{t^{2}}{1+t}.
Segundo \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}'(t):
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}'(t)= (t^{2})\cdot 0 + (e^{t})\cdot 1 + \ln(1+t)\cdot (2t).
Portanto
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}'(t)=e^{t}+2t\ln(1+t).

Passo 5

Somando as duas parcelas obtemos a derivada geral:
(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t))'= 2t + t e^{t} + \frac{t^{2}}{1+t} + e^{t} + 2t\ln(1+t).
Podemos organizar um pouco:
(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})' = 2t + e^{t}(1+t) + \frac{t^{2}}{1+t} + 2t\ln(1+t).

Passo 6

Avaliar em t=1. Substituindo t=1 em cada termo:
2t \mapsto 2, \qquad e^{t}(1+t) \mapsto e^{1}(1+1)=2e,
\frac{t^{2}}{1+t} \mapsto \frac{1}{2}, \qquad 2t\ln(1+t) \mapsto 2\ln 2.
Somando tudo:
\left.(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'\right|_{t=1}=2+2e+\frac{1}{2}+2\ln 2.
Simplificando os termos racionais:
\left.(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'\right|_{t=1}=\frac{5}{2}+2e+2\ln 2.

Resposta

\dfrac{5}{2}+2e+2\ln 2

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