Sejam
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln (1+t)\right),
\mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right)
e f(t)=t^{3}). Determine:
\left.(f(t) \mathbf{r}(t))^{\prime}\right|_{t=1}

Passo 1

O enunciado fornece as funções vetoriais e escalar:
\mathbf{r}(t)=\bigl(t^{2},\,e^{t},\,\ln(1+t)\bigr),\qquad \mathbf{s}(t)=\bigl(1,\,t,\,t^{2}\bigr),\qquad f(t)=t^{3}.
A pergunta é: determine \left.(f(t)\mathbf{r}(t))'\right|_{t=1}, ou seja, calcule a derivada de f(t)\mathbf{r}(t) e avalie essa derivada em t=1.

Passo 2

Regra do produto (escalar vezes vetor). Para um escalar f(t) e um vetor \mathbf{r}(t) vale a regra
\bigl(f(t)\mathbf{r}(t)\bigr)'=f'(t)\,\mathbf{r}(t)+f(t)\,\mathbf{r}'(t).
Explicação curta: cada componente de f(t)\mathbf{r}(t) é f(t) vezes a componente correspondente de \mathbf{r}(t); ao derivar, aplica-se a regra do produto escalarmente em cada componente, e o resultado reagrupa-se em vetor.

Passo 3

Derivar f(t)=t^{3}. Pela regra da potência ( \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}):
f'(t)=3t^{2}.
Avaliação em t=1:
f(1)=1^{3}=1,\qquad f'(1)=3\cdot1^{2}=3.

Passo 4

Derivar \mathbf{r}(t) componente a componente.
  • Primeira componente: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • Segunda componente: \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • Terceira componente: \dfrac{d}{dt}\ln(1+t). Usando a regra da cadeia, se u=1+t então \dfrac{d}{dt}\ln u=\dfrac{u'}{u}. Aqui u'=1, logo
\dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t}.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\bigl(2t,\,e^{t},\,\tfrac{1}{1+t}\bigr).
Avaliações em t=1:
\mathbf{r}(1)=\bigl(1,\,e,\,\ln 2\bigr),\qquad \mathbf{r}'(1)=\bigl(2,\,e,\,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 5

Aplicar a regra do passo 2 em t=1:
\bigl(f(t)\mathbf{r}(t)\bigr)'\Big|_{t=1}=f'(1)\,\mathbf{r}(1)+f(1)\,\mathbf{r}'(1).
Substituindo os valores encontrados:
=3\cdot\bigl(1,\,e,\,\ln 2\bigr)+1\cdot\bigl(2,\,e,\,\tfrac{1}{2}\bigr).
Somando componente a componente:
  • primeira componente: 3\cdot 1 + 2 = 5,
  • segunda componente: 3\cdot e + e = 4e,
  • terceira componente: 3\cdot \ln 2 + \tfrac{1}{2} = 3\ln 2 + \tfrac{1}{2}.

Resposta

\bigl(5,\,4e,\,3\ln 2 + \tfrac{1}{2}\bigr)

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