Sejam
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln (1+t)\right),
\mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right)
e f(t)=t^{3}). Determine:
\left.(\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t))^{\prime}\right|_{t=1}

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais e escalar (tirei tudo do enunciado):
  • \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln(1+t)\right).
  • \mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right) (informação dada, mas não usada aqui).
  • f(t)=t^{3} (informação dada, mas não usada aqui).
O que o problema pede:
  • Calcular \left.(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t))^{\prime}\right|_{t=1}, ou seja, a derivada em relação a t do produto escalar \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t) avaliada em t=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os componentes de \mathbf{r}(t) são r_1(t)=t^2, r_2(t)=e^t, r_3(t)=\ln(1+t).
  • Para derivar vetores, pode-se derivar componente a componente.
  • Para o produto escalar entre um vetor e ele mesmo vale uma simplificação útil que será usada nos próximos passos.

Passo 2

Explicar a regra que vamos usar (mini-aula): derivada do produto escalar.
  • Regra geral: para vetores dependentes de t, \bigl(\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)\bigr)'=\mathbf{u}'(t)\cdot\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}'(t). Essa é análoga à regra do produto escalar componente a componente.
  • Aplicando ao caso \mathbf{u}=\mathbf{v}=\mathbf{r}, obtemos
\bigl(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)\bigr)'=\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=2\,\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t),
porque o produto escalar é comutativo ( \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}).
Comentário didático: essa identidade também pode ser vista escrevendo \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=r_1^2+r_2^2+r_3^2 e derivando cada termo: (r_i^2)'=2 r_i r_i', somando dá 2\sum r_i r_i'=2\,\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente (mini-aula sobre derivadas simples):
  • Derivada de t^2 é 2t.
  • Derivada de e^{t} é e^{t}.
  • Derivada de \ln(1+t) é \dfrac{1}{1+t} (regra da cadeia simples: derivada de \ln(u) é u'/u, aqui u=1+t tem u'=1).
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\left(2t,\; e^{t},\; \frac{1}{1+t}\right).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) (mini-aula sobre produto escalar):
  • Produto escalar entre \mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3) e \mathbf{r}'=(r_1',r_2',r_3') é r_1 r_1' + r_2 r_2' + r_3 r_3'.
Usando as componentes:
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=t^{2}\cdot(2t)+e^{t}\cdot e^{t}+\ln(1+t)\cdot\frac{1}{1+t}.
Simplificando cada termo:
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=2t^{3}+e^{2t}+\frac{\ln(1+t)}{1+t}.

Passo 5

Usar a relação do Passo 2 para obter a derivada desejada:
\bigl(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)\bigr)'=2\,\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=2\left(2t^{3}+e^{2t}+\frac{\ln(1+t)}{1+t}\right).
Distribuindo o 2:
\bigl(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)\bigr)'=4t^{3}+2e^{2t}+\frac{2\ln(1+t)}{1+t}.
Agora avaliar em t=1:
  • 4t^{3} em t=1 4.
  • 2e^{2t} em t=1 2e^{2}.
  • \dfrac{2\ln(1+t)}{1+t} em t=1 \dfrac{2\ln 2}{2}=\ln 2.
Somando:
\left.(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t))'\right|_{t=1}=4+2e^{2}+\ln 2.

Resposta

4+2e^{2}+\ln 2

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