Sejam
,
e f(t)=t^{3}). Determine:
e f(t)=t^{3}). Determine:
Passo 1
O enunciado dá as funções vetoriais e escalar (tirei tudo do enunciado):
-
. -
(informação dada, mas não usada aqui). -
(informação dada, mas não usada aqui).
O que o problema pede:
- Calcular
, ou seja, a derivada em relação a do produto escalar avaliada em .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os componentes de
são , , . - Para derivar vetores, pode-se derivar componente a componente.
- Para o produto escalar entre um vetor e ele mesmo vale uma simplificação útil que será usada nos próximos passos.
Passo 2
Explicar a regra que vamos usar (mini-aula): derivada do produto escalar.
- Regra geral: para vetores dependentes de
, . Essa é análoga à regra do produto escalar componente a componente. - Aplicando ao caso
, obtemos
porque o produto escalar é comutativo (
).
Comentário didático: essa identidade também pode ser vista escrevendo
e derivando cada termo:
, somando dá
.
Passo 3
Calcular
componente a componente (mini-aula sobre derivadas simples):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia simples: derivada de é , aqui tem ).
Portanto
Passo 4
Calcular o produto escalar
(mini-aula sobre produto escalar):
- Produto escalar entre
e é .
Usando as componentes:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Usar a relação do Passo 2 para obter a derivada desejada:
Distribuindo o
:
Agora avaliar em
:
-
em dá . -
em dá . -
em dá .
Somando: