Sejam
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln (1+t)\right),
\mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right)
e f(t)=t^{3}). Determine:
\left.(f(t) \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t))^{\prime}\right|_{t=1}

Passo 1

O enunciado dá três funções de t:
\mathbf{r}(t)=\big(t^{2},\, e^{t},\, \ln(1+t)\big), \qquad \mathbf{s}(t)=\big(1,\, t,\, t^{2}\big), \qquad f(t)=t^{3}.
O que é pedido: calcular o valor de
\left.(f(t)\,\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t))'\right|_{t=1},
ou seja, a derivada em relação a t da função escalar g(t)=\big(f(t)\,\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{s}(t), avaliada em t=1.

Passo 2

Vamos revisar as regras que vamos usar (cada uma explicada de forma direta).
  • Produto escalar (dot product): para vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.É uma função escalar de t quando os componentes dependem de t.
  • Regra do produto para derivadas escalares: se u(t) e v(t) são funções escalares, (u v)'=u'v+u v'.
  • Derivada do produto escalar de vetores dependentes de t: se \mathbf{r}(t) e \mathbf{s}(t) são vetores, (\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'=\mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'.
  • Observação prática: g(t)=(f(t)\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{s}(t)=f(t)\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t)\big). Portanto podemos aplicar a regra do produto entre f(t) e a função escalar \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t): g'(t)=f'(t)\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)+f(t)\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)'.E então usar (\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'=\mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'.

Passo 3

Calcular primeiro \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t) (produto escalar).
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t) = t^{2}\cdot 1 + e^{t}\cdot t + \ln(1+t)\cdot t^{2}.
Portanto
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t)=t^{2}+t e^{t}+t^{2}\ln(1+t).

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias:
  • f(t)=t^{3} implica f'(t)=3t^{2}.
  • Derivadas dos vetores: \mathbf{r}'(t)=\big(2t,\\ e^{t},\\ \tfrac{1}{1+t}\big), \qquad \mathbf{s}'(t)=\big(0,\\\ 1,\\\ 2t\big).
Agora calcule \mathbf{r}'\cdot\mathbf{s} e \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'.
\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{s}(t)=2t\cdot 1 + e^{t}\cdot t + \frac{1}{1+t}\cdot t^{2} =2t + t e^{t} + \frac{t^{2}}{1+t}.
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}'(t)=t^{2}\cdot 0 + e^{t}\cdot 1 + \ln(1+t)\cdot 2t = e^{t} + 2t\ln(1+t).
Somando,
(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'=\mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}' =2t + t e^{t} + \frac{t^{2}}{1+t} + e^{t} + 2t\ln(1+t).
Podemos agrupar um pouco:
(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'=2t + e^{t}(1+t) + \frac{t^{2}}{1+t} + 2t\ln(1+t).

Passo 5

Aplicar a fórmula para g'(t):
g'(t)=f'(t)\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)+f(t)\big(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'\big).
Substituindo as expressões encontradas:
g'(t)=3t^{2}\big(t^{2}+t e^{t}+t^{2}\ln(1+t)\big)+t^{3}\Big(2t + e^{t}(1+t) + \frac{t^{2}}{1+t} + 2t\ln(1+t)\Big).

Passo 6

Agora avaliar em t=1. Primeiro calcule valores intermediários em t=1.
\mathbf{r}(1)\cdot\mathbf{s}(1)=1^{2}+1\cdot e + 1^{2}\ln 2 = 1 + e + \ln 2.
f'(1)=3\cdot 1^{2}=3,\qquad f(1)=1^{3}=1.
Calcule (\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'(1) usando a forma agrupada:
(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'(1)=2\cdot 1 + e^{1}(1+1) + \frac{1^{2}}{1+1} + 2\cdot 1\cdot\ln 2.
Portanto
(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'(1)=2 + 2e + \tfrac{1}{2} + 2\ln 2 = \tfrac{5}{2} + 2e + 2\ln 2.

Passo 7

Substituir tudo em g'(1)=f'(1)(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})(1)+f(1)(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'(1):
g'(1)=3\big(1+e+\ln 2\big)+1\cdot\Big(\tfrac{5}{2}+2e+2\ln 2\Big).
Agora simplificar:
g'(1)=3+3e+3\ln 2+\tfrac{5}{2}+2e+2\ln 2 =\tfrac{11}{2} + 5e + 5\ln 2.

Resposta

\dfrac{11}{2}+5e+5\ln 2

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