ou seja, a derivada em relação a t da função escalar g(t)=\big(f(t)\,\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{s}(t), avaliada em t=1.
Passo 2
Vamos revisar as regras que vamos usar (cada uma explicada de forma direta).
Produto escalar (dot product): para vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.É uma função escalar de t quando os componentes dependem de t.
Regra do produto para derivadas escalares: se u(t) e v(t) são funções escalares,(u v)'=u'v+u v'.
Derivada do produto escalar de vetores dependentes de t: se \mathbf{r}(t) e \mathbf{s}(t) são vetores,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'=\mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'.
Observação prática: g(t)=(f(t)\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{s}(t)=f(t)\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t)\big). Portanto podemos aplicar a regra do produto entre f(t) e a função escalar \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t):g'(t)=f'(t)\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)+f(t)\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big)'.E então usar (\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})'=\mathbf{r}'\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}'.
Passo 3
Calcular primeiro \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t) (produto escalar).
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t) = t^{2}\cdot 1 + e^{t}\cdot t + \ln(1+t)\cdot t^{2}.