Sejam
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, e^{t}, \ln (1+t)\right),
\mathbf{s}(t)=\left(1, t, t^{2}\right)
e f(t)=t^{3}). Determine:
\left.(\mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}(t))^{\prime}\right|_{t=1}

Passo 1

O enunciado dá as três curvas (vetores em \mathbb{R}^3):
\mathbf{r}(t)=\big(t^{2},\,e^{t},\,\ln(1+t)\big),\qquad \mathbf{s}(t)=\big(1,\,t,\,t^{2}\big),\qquad f(t)=t^{3}.
O que nos pedem é calcular a derivada do produto vetorial \mathbf{r}(t)\times\mathbf{s}(t) e então avaliar essa derivada em t=1; ou seja, achar
\left.(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{s}(t))^{\prime}\right|_{t=1}.
Observação: a função f(t)=t^{3} aparece no enunciado mas não será necessária para este cálculo — concentraremos apenas em \mathbf{r} e \mathbf{s}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (produto derivado para produto vetorial): para vetores dependentes de t,
(\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}(t))'=\mathbf{u}'(t)\times\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}'(t).
Explicação curta e intuitiva: é análogo à regra do produto escalar/real, mas aplicada componente a componente do produto vetorial; cada termo representa a contribuição quando derivamos o primeiro fator mantendo o segundo fixo mais a contribuição derivando o segundo mantendo o primeiro fixo. Vamos aplicar a fórmula com \mathbf{u}=\mathbf{r} e \mathbf{v}=\mathbf{s}.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes de \mathbf{r} e \mathbf{s}.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big( (t^{2})',\\ (e^{t})',\\ (\ln(1+t))'\big) =\big(2t,\\ e^{t},\\ \tfrac{1}{1+t}\big).
\mathbf{s}'(t)=\big( (1)',\\ (t)',\\ (t^{2})'\big) =\big(0,\\\ 1,\\\ 2t\big).
Agora avalio em t=1:
\mathbf{r}(1)=\big(1,\\ e,\\ \ln 2\big),\qquad \mathbf{s}(1)=\big(1,\\\ 1,\\\ 1\big),
\mathbf{r}'(1)=\big(2,\\ e,\\ \tfrac{1}{2}\big),\qquad \mathbf{s}'(1)=\big(0,\\\ 1,\\\ 2\big).

Passo 4

Aplicar a regra do produto vetorial no ponto t=1:
\left.(\mathbf{r}\times\mathbf{s})'\right|_{t=1} =\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{s}(1)+\mathbf{r}(1)\times\mathbf{s}'(1).
Vamos calcular cada produto vetorial separadamente. Lembrete rápido para o produto vetorial: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\big).
Calcule \mathbf{r}'(1)\times\mathbf{s}(1) com \mathbf{r}'(1)=(2,e,\tfrac{1}{2}) e \mathbf{s}(1)=(1,1,1):
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{s}(1) =\big(e\cdot1-\tfrac{1}{2}\cdot1,\\ \tfrac{1}{2}\cdot1-2\cdot1,\\\ 2\cdot1-e\cdot1\big).
Simplificando:
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{s}(1)=\big(e-\tfrac{1}{2},\\\ -\tfrac{3}{2},\\\ 2-e\big).

Passo 5

Calcule \mathbf{r}(1)\times\mathbf{s}'(1) com \mathbf{r}(1)=(1,e,\ln 2) e \mathbf{s}'(1)=(0,1,2):
\mathbf{r}(1)\times\mathbf{s}'(1) =\big(e\cdot2-(\ln 2)\cdot1,\\ (\ln 2)\cdot0-1\cdot2,\\\ 1\cdot1-e\cdot0\big).
Simplificando:
\mathbf{r}(1)\times\mathbf{s}'(1)=\big(2e-\ln 2,\\\ -2,\\\ 1\big).

Passo 6

Somar os dois vetores obtidos para ter a derivada total no ponto t=1:
\left.(\mathbf{r}\times\mathbf{s})'\right|_{t=1} =\big(e-\tfrac{1}{2},\\\ -\tfrac{3}{2},\\\ 2-e\big)+\big(2e-\ln 2,\\\ -2,\\\ 1\big).
Somando coordenada a coordenada:
primeira coordenada: e-\tfrac{1}{2}+2e-\ln 2=3e-\ln 2-\tfrac{1}{2}.
segunda coordenada: -\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{7}{2}.
terceira coordenada: 2-e+1=3-e.
Portanto
\left.(\mathbf{r}\times\mathbf{s})'\right|_{t=1} =\big(3e-\ln 2-\tfrac{1}{2},\\\ -\tfrac{7}{2},\\\ 3-e\big).

Resposta

\left.(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{s}(t))'\right|_{t=1}=\big(3e-\ln 2-\tfrac{1}{2},\\\ -\tfrac{7}{2},\\\ 3-e\big)

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